Círculo unitario interactivo
Arrastra el punto alrededor del círculo, escribe un ángulo en grados o radianes, o toca un ángulo notable. Verás la medida en radianes, las coordenadas (cos θ, sin θ) y los valores exactos de las seis funciones trigonométricas, y podrás imprimir un círculo unitario completamente rotulado.
Última actualización:
| Función | Exacto | Decimal |
|---|
Cómo usar Círculo unitario interactivo
- Mueve el ángulo: arrastra el punto sobre el círculo, usa las flechas después de seleccionarlo o toca uno de los botones de ángulos notables.
- O escribe un ángulo como 210, -45, 3pi/4 o 2.5 y elige grados o radianes.
- Lee los valores: radianes, coordenadas, cuadrante, ángulo de referencia y los valores exactos y decimales de sin, cos, tan, csc, sec y cot.
- Cambia los rótulos del círculo a grados, radianes o coordenadas y activa o desactiva el triángulo o la tangente.
- Imprime la tabla para obtener un círculo unitario completo y rotulado con su tabla de valores, o descárgalo como SVG.
Valores del círculo unitario para los ángulos notables
| Grados | Radianes | (cos θ, sin θ) | tan θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | (1, 0) | 0 |
| 30° | π/6 | (√3/2, 1/2) | √3/3 |
| 45° | π/4 | (√2/2, √2/2) | 1 |
| 60° | π/3 | (1/2, √3/2) | √3 |
| 90° | π/2 | (0, 1) | indefinida |
| 120° | 2π/3 | (−1/2, √3/2) | −√3 |
| 135° | 3π/4 | (−√2/2, √2/2) | −1 |
| 150° | 5π/6 | (−√3/2, 1/2) | −√3/3 |
| 180° | π | (−1, 0) | 0 |
| 210° | 7π/6 | (−√3/2, −1/2) | √3/3 |
| 225° | 5π/4 | (−√2/2, −√2/2) | 1 |
| 240° | 4π/3 | (−1/2, −√3/2) | √3 |
| 270° | 3π/2 | (0, −1) | indefinida |
| 300° | 5π/3 | (1/2, −√3/2) | −√3 |
| 315° | 7π/4 | (√2/2, −√2/2) | −1 |
| 330° | 11π/6 | (√3/2, −1/2) | −√3/3 |
Fórmulas clave del círculo unitario
- Punto del círculo: (x, y) = (cos θ, sin θ) y x² + y² = 1, así que sin²θ + cos²θ = 1.
- Tangente: tan θ = sin θ / cos θ = y / x.
- Funciones recíprocas: csc θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ = cos θ / sin θ.
- Grados ↔ radianes: radianes = grados × π/180; grados = radianes × 180/π.
- Ángulos coterminales: θ + 360°·k (o θ + 2πk) terminan en el mismo punto, así que −30°, 330° y 690° comparten todos sus valores trigonométricos.
- Longitud de arco: en el círculo unitario la longitud del arco es igual al ángulo en radianes, por eso los radianes son la unidad natural.
Una forma rápida de recordar el círculo
Aprende solo el primer cuadrante. Los tres puntos notables son (√3/2, 1/2) en 30°, (√2/2, √2/2) en 45° y (1/2, √3/2) en 60°. Todos los demás puntos notables son reflejos: en el cuadrante II cambia el signo de x, en el cuadrante III cambia ambos y en el cuadrante IV cambia y. Los denominadores en radianes siguen la familia: los ángulos basados en 30° usan sextos (π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6), los de 45° usan cuartos y los de 60° usan tercios. Usa el conversor de grados a radianes para cualquier otro ángulo y la calculadora de trigonometría para resolver triángulos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el círculo unitario?
El círculo unitario es un círculo de radio 1 centrado en el origen. Para un ángulo θ medido en sentido antihorario desde el semieje x positivo, el punto donde el lado terminal corta el círculo tiene coordenadas (cos θ, sin θ). Esto lo convierte en una forma sencilla de definir y recordar las funciones trigonométricas para cualquier ángulo.
¿Cómo convierto grados a radianes?
Multiplica por π/180. Por ejemplo, 150° × π/180 = 5π/6 ≈ 2.618 rad. Para volver, multiplica los radianes por 180/π. Una vuelta completa es 360° = 2π radianes.
¿Cómo encuentro la tangente en el círculo unitario?
tan θ = sin θ / cos θ = y / x. Geométricamente es la longitud del segmento sobre la recta tangente x = 1, desde (1, 0) hasta donde la prolongación del radio la corta. No está definida en 90° y 270°, donde cos θ = 0.
¿Qué significa ASTC (All Students Take Calculus)?
Es una regla mnemotécnica en inglés que indica qué funciones son positivas en cada cuadrante: en el cuadrante I todas (All) son positivas, en el cuadrante II solo el seno (Sine, y csc), en el cuadrante III solo la tangente (Tangent, y cot) y en el cuadrante IV solo el coseno (Cosine, y sec).
¿Qué es un ángulo de referencia?
El ángulo de referencia es el ángulo agudo entre el lado terminal y el eje x. Es θ en el cuadrante I, 180° − θ en el cuadrante II, θ − 180° en el cuadrante III y 360° − θ en el cuadrante IV. Los valores trigonométricos de θ son iguales a los de su ángulo de referencia, con el signo que determina el cuadrante.
¿Cómo memorizo los valores de los ángulos notables?
Para 0°, 30°, 45°, 60° y 90° los senos son √0/2, √1/2, √2/2, √3/2 y √4/2, es decir, 0, 1/2, √2/2, √3/2 y 1. Los cosenos son la misma lista en orden inverso. Todos los demás ángulos notables usan estos valores con el signo de su cuadrante.
¿Qué ángulos tienen valores exactos aquí?
Todos los múltiplos de 15° (π/12) muestran valores exactos, incluidos 15° y 75°; por ejemplo, sin 15° = (√6 − √2)/4 y tan 15° = 2 − √3. Los demás ángulos muestran valores decimales redondeados a 6 cifras.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.
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