Calculadora de inverso modular
Introduce un número a y un módulo m para hallar x tal que a × x ≡ 1 (mod m). La calculadora comprueba que el inverso existe (mcd(a, m) = 1), muestra cada paso del algoritmo de Euclides extendido y funciona con enteros de cientos de dígitos.
Última actualización:
Número entero, puede ser negativo o enorme. Funcionan expresiones como 2^64+1.
Número entero ≥ 2
Cómo usar Calculadora de inverso modular
- Introduce a, el número que quieres invertir.
- Introduce el módulo m (2 o más). Se aceptan potencias como 2^61-1.
- Pulsa Calcular inverso para obtener a⁻¹ mod m.
- Lee los pasos: las divisiones euclidianas y la sustitución hacia atrás.
- Copia el resultado o descarga la tabla del algoritmo en CSV.
Algoritmo de Euclides extendido: ejemplo resuelto
Halla 17⁻¹ mod 3120. Divide repetidamente, anotando cómo se construye cada resto a partir de 3120 y 17:
| División | Resto | Como s·3120 + t·17 |
|---|---|---|
| 3120 = 183 × 17 + 9 | 9 | 1·3120 − 183·17 |
| 17 = 1 × 9 + 8 | 8 | −1·3120 + 184·17 |
| 9 = 1 × 8 + 1 | 1 | 2·3120 − 367·17 |
El mcd es 1, así que el inverso existe, y 2·3120 − 367·17 = 1. Al reducir mod 3120 se obtiene t = −367 ≡ 3120 − 367 = 2753. Comprobación: 17 × 2753 = 46,801 = 15 × 3120 + 1 ✓.
Tabla de inversos pequeña (mod 11)
Como 11 es primo, todos los números del 1 al 10 tienen inverso módulo 11. Fíjate en que 1 y 10 (≡ −1) son sus propios inversos.
| a | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| a⁻¹ mod 11 | 1 | 6 | 4 | 3 | 9 | 2 | 8 | 7 | 5 | 10 |
Consejos
- Para resolver una congruencia lineal a·x ≡ b (mod m) con mcd(a, m) = 1, multiplica ambos lados por el inverso: x ≡ b · a⁻¹ (mod m).
- El inverso es único módulo m: hay exactamente una respuesta entre 0 y m − 1.
- Con módulo 26 (el alfabeto inglés), solo los 12 números coprimos con 26 (1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25) tienen inverso, por eso los cifrados afines restringen su clave.
Preguntas frecuentes
¿Qué es un inverso modular?
El inverso modular (multiplicativo) de a módulo m es el número x entre 0 y m − 1 tal que a × x ≡ 1 (mod m). Por ejemplo, 3⁻¹ mod 11 = 4, porque 3 × 4 = 12 = 11 + 1. Desempeña el papel de la división en la aritmética modular.
¿Cuándo existe un inverso modular?
Exactamente cuando a y m son coprimos, es decir, mcd(a, m) = 1. Si comparten un factor g > 1, todo múltiplo de a deja un resto que es múltiplo de g, así que nunca puede ser 1. Por ejemplo, 6 no tiene inverso mod 9 porque mcd(6, 9) = 3. Si m es primo, todo a no divisible por m tiene inverso.
¿Cómo encuentra el inverso el algoritmo de Euclides extendido?
Ejecuta el algoritmo de Euclides habitual para mcd(a, m) mientras lleva la cuenta de los coeficientes s y t, de modo que cada resto es igual a s·m + t·a. Cuando el resto llega a mcd = 1 tienes s·m + t·a = 1, y al reducir esto mod m queda t·a ≡ 1, así que t mod m es el inverso.
¿Cómo se usa el inverso modular en RSA?
El exponente privado d es el inverso del exponente público e módulo φ(n) (o λ(n)). En el ejemplo clásico de los libros, e = 17 y φ(n) = 3120 dan d = 17⁻¹ mod 3120 = 2753, porque 17 × 2753 = 46,801 = 15 × 3120 + 1.
¿Puedo usar el pequeño teorema de Fermat en su lugar?
Sí, cuando m es primo: a⁻¹ ≡ a^(m − 2) (mod m). Para 3 mod 11 eso es 3⁹ mod 11 = 4. El algoritmo de Euclides extendido es más rápido y también funciona cuando m no es primo, por eso lo usa esta calculadora.
¿Y los números negativos?
Un a negativo se reduce primero al rango de 0 a m − 1 (−7 mod 26 = 19) y luego se invierte. La respuesta se da como el menor inverso positivo; cualquier valor que difiera en un múltiplo de m, como el representante negativo que se muestra, también es un inverso.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.