Calculadora de ecuaciones cuadráticas
Introduce a, b y c para resolver ax² + bx + c = 0. Obtienes las raíces exactas en forma radical simplificada (o raíces complejas), el discriminante, el vértice, el eje de simetría, las formas factorizada y canónica, la solución paso a paso con la fórmula cuadrática y una gráfica de la parábola.
Última actualización:
Introduce números enteros, decimales o fracciones como 3/4 o -0.5. Deja b o c vacíos para 0.
Gráfica de la parábola
Solución paso a paso
Cómo usar Calculadora de ecuaciones cuadráticas
- Reescribe tu ecuación para que un lado sea cero, con la forma ax² + bx + c = 0.
- Escribe a, b y c. Usa el signo menos para los valores negativos; también puedes usar decimales o fracciones. Un término que falta es 0.
- Pulsa Resolver (los resultados también se actualizan mientras escribes).
- Consulta las raíces en forma exacta y en decimales, además del discriminante, el vértice y la forma factorizada.
- Revisa la gráfica y los pasos: la parábola muestra dónde corta el eje x, y los pasos muestran cada etapa de la fórmula cuadrática.
Fórmula cuadrática y datos clave
| Magnitud | Fórmula | Significado |
|---|---|---|
| Raíces | x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a | Donde la parábola corta el eje x |
| Discriminante | D = b² − 4ac | D > 0: dos raíces reales · D = 0: una raíz doble · D < 0: raíces complejas |
| Suma de las raíces | x₁ + x₂ = −b/a | Fórmula de Vieta, una comprobación rápida |
| Producto de las raíces | x₁ · x₂ = c/a | Fórmula de Vieta |
| Vértice | (−b/2a, c − b²/4a) | Mínimo si a > 0, máximo si a < 0 |
| Eje de simetría | x = −b/2a | La parábola es simétrica a cada lado |
| Forma canónica | y = a(x − h)² + k | Completar el cuadrado |
Ejemplo práctico con una respuesta irracional
Resuelve 2x² + 4x − 3 = 0. Aquí a = 2, b = 4 y c = −3.
- Discriminante: D = 4² − 4·2·(−3) = 16 + 24 = 40. Es positivo pero no es un cuadrado perfecto, así que hay dos raíces reales irracionales.
- Fórmula: x = (−4 ± √40) / 4.
- Simplifica la raíz: √40 = √(4·10) = 2√10, así que x = (−4 ± 2√10) / 4.
- Cancela el factor común 2: x = (−2 ± √10) / 2, es decir, x ≈ 0.581139 o x ≈ −2.581139.
- Comprueba con Vieta: la suma es −2 = −b/a y el producto es (4 − 10)/4 = −1.5 = c/a.
Ejemplos de cada tipo de raíz
| Ecuación | D | Raíces | Forma factorizada |
|---|---|---|---|
| x² − 3x + 2 = 0 | 1 | 1 y 2 | (x − 1)(x − 2) |
| 6x² − 5x − 6 = 0 | 169 | −2/3 y 3/2 | (3x + 2)(2x − 3) |
| x² − 6x + 9 = 0 | 0 | 3 (raíz doble) | (x − 3)² |
| 2x² + 4x − 3 = 0 | 40 | (−2 ± √10)/2 | 2(x − 0.581139)(x + 2.581139) |
| x² + 2x + 5 = 0 | −16 | −1 ± 2i | No factorizable en los reales |
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula cuadrática?
Para ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0, las soluciones son x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. El ± da las dos raíces, una con + y otra con −.
¿Qué indica el discriminante?
El discriminante D = b² − 4ac decide el tipo de raíces. Si D > 0 hay dos raíces reales distintas, si D = 0 hay una raíz real repetida, y si D < 0 hay dos raíces complejas conjugadas y la parábola no corta el eje x.
¿Cómo simplifico la raíz cuadrada de la respuesta?
Saca el mayor factor que sea un cuadrado perfecto. Por ejemplo, √40 = √(4 × 10) = 2√10, así que (−4 ± √40)/4 se simplifica a (−2 ± √10)/2 tras dividir todo entre el factor común 2.
¿Cómo se encuentra el vértice de una parábola?
La coordenada x del vértice es h = −b/2a y la coordenada y es k = c − b²/4a, que es lo mismo que sustituir h en la ecuación. El vértice es un mínimo cuando a > 0 y un máximo cuando a < 0.
¿Cuándo se puede factorizar una ecuación cuadrática?
Una cuadrática con coeficientes enteros se factoriza en paréntesis con números enteros exactamente cuando su discriminante es un cuadrado perfecto. Para 6x² − 5x − 6, D = 169 = 13², así que se factoriza como (3x + 2)(2x − 3).
¿Qué pasa si a = 0?
Entonces no hay término x² y la ecuación es lineal, bx + c = 0, con la única solución x = −c/b. La calculadora lo detecta y la resuelve como una ecuación lineal.
¿Puedo introducir fracciones o decimales?
Sí. Valores como 1/2, −3/4 o 0.25 se convierten en fracciones exactas, así que las raíces, el vértice y la forma factorizada siguen siendo exactos en lugar de redondearse.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.