Área de un polígono por coordenadas
Pega los vértices de cualquier polígono, un par x, y por línea, y obtén su área con la fórmula del área de Gauss (fórmula del lazo). La calculadora también da el perímetro, el centroide y el orden de los vértices, muestra una tabla completa de la fórmula y dibuja la figura para que detectes un punto mal escrito.
Última actualización:
Un punto por línea, como 3, 7 o (3, 7). Recorre el contorno en sentido horario o antihorario; no repitas el primer punto.
Cómo usar Área de un polígono por coordenadas
- Introduce los vértices en orden alrededor de la figura, un par x, y por línea. No repitas el primer punto al final.
- Elige una unidad si tus coordenadas están en metros, pies u otra unidad de longitud.
- Lee el área arriba, con el perímetro, el centroide y el tipo de figura debajo.
- Revisa el gráfico: si los lados se cruzan, hay un punto fuera de orden.
- Sigue la tabla y los pasos y luego copia los resultados o descarga la tabla en CSV.
Cómo funciona la fórmula del área de Gauss
Escribe los vértices P₁ a Pₙ en orden alrededor del polígono e imagina que vuelves a P₁ al final. Para cada lado de Pᵢ a Pᵢ₊₁, calcula el producto cruzado xᵢ·yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁·yᵢ. La mitad de la suma de estos productos cruzados es el área con signo: positiva cuando los puntos van en sentido antihorario y negativa cuando van en sentido horario. El valor absoluto es el área.
Cada producto cruzado es el doble del área con signo del triángulo formado por el origen y un lado. Los triángulos del lado lejano de la figura se suman y los del lado cercano se restan, así que todo lo que queda fuera del polígono se anula y solo permanece la región encerrada.
Ejemplo resuelto
Toma el cuadrilátero con vértices (1, 1), (5, 2), (4, 6) y (0, 4).
| Lado | xᵢ·yᵢ₊₁ | xᵢ₊₁·yᵢ | Diferencia |
|---|---|---|---|
| (1, 1) → (5, 2) | 1 × 2 = 2 | 5 × 1 = 5 | −3 |
| (5, 2) → (4, 6) | 5 × 6 = 30 | 4 × 2 = 8 | 22 |
| (4, 6) → (0, 4) | 4 × 4 = 16 | 0 × 6 = 0 | 16 |
| (0, 4) → (1, 1) | 0 × 1 = 0 | 1 × 4 = 4 | −4 |
| Suma | 48 | 17 | 31 |
Área = ½ × |31| = 15.5 unidades cuadradas. La suma es positiva, así que los puntos se enumeraron en sentido antihorario.
Fórmulas relacionadas
| Magnitud | Fórmula |
|---|---|
| Área (fórmula de Gauss) | A = ½ |Σ (xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| |
| Área del triángulo | A = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| |
| Longitud del lado | d = √((xᵢ₊₁ − xᵢ)² + (yᵢ₊₁ − yᵢ)²) |
| Centroide | Cx = Σ(xᵢ + xᵢ₊₁)cᵢ ÷ 6A, Cy = Σ(yᵢ + yᵢ₊₁)cᵢ ÷ 6A, con cᵢ = xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ |
| Teorema de Pick (solo puntos de red) | A = I + B ÷ 2 − 1, donde I = puntos interiores y B = puntos del borde |
Consejos para obtener resultados precisos
- Los croquis topográficos y los planos funcionan bien: toma una esquina como (0, 0) y mide las demás esquinas desde ella en la misma unidad.
- Para una figura con un hueco, halla por separado el área exterior y el área del hueco y réstalas.
- Las coordenadas muy grandes, como los valores topográficos de sistemas planos estatales, sirven, pero mover el origen cerca de la figura reduce el redondeo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula del área de Gauss (fórmula del lazo)?
Es una forma de hallar el área de un polígono a partir de las coordenadas de sus vértices. Enumera los puntos en orden, suma xᵢ·yᵢ₊₁ para cada vértice, resta la suma de xᵢ₊₁·yᵢ y toma la mitad del valor absoluto: A = ½ |Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|. El patrón cruzado de los productos se parece a atar los cordones de un zapato, de ahí su nombre en inglés, shoelace.
¿Importa el orden de los puntos?
Sí. Los puntos deben seguir el contorno de la figura, en sentido horario o antihorario. El sentido solo cambia el signo del área con signo, que la calculadora indica, pero saltar de un lado a otro de la figura fuera de orden hace que los lados se crucen y da un área incorrecta.
¿Tengo que repetir el primer punto al final?
No. La fórmula vuelve automáticamente del último vértice al primero. Si repites el primer punto, la calculadora lo detecta y elimina el duplicado.
¿Por qué el área es incorrecta cuando el polígono se cruza a sí mismo?
En una figura que se cruza a sí misma, como una estrella dibujada con cinco líneas que se cruzan, la fórmula da un área neta en la que algunas regiones se anulan o cuentan dos veces. Reordena los puntos para que recorran el contorno exterior y obtendrás el área encerrada real.
¿Cómo hallo el área de un triángulo a partir de coordenadas?
Usa la misma fórmula con tres puntos: A = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|. Para (0, 0), (4, 0) y (0, 3) el área es ½ × |0 + 12 + 0| = 6.
¿Cómo se calcula el centroide de un polígono?
El centroide usa el área con signo A y los mismos productos cruzados cᵢ = xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ: Cx = Σ(xᵢ + xᵢ₊₁)cᵢ ÷ 6A y Cy = Σ(yᵢ + yᵢ₊₁)cᵢ ÷ 6A. Es el punto de equilibrio de una placa plana con esa forma, no el promedio de los vértices.
¿Puedo usar latitud y longitud de GPS?
No directamente. La latitud y la longitud son ángulos, así que la fórmula devolvería grados cuadrados. Primero convierte los puntos a una cuadrícula plana en metros o pies, o usa una herramienta de área de terrenos basada en mapas para puntos GPS.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.
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