Calculadora de derivación implícita
Introduce una ecuación en x e y, como x³ + y³ = 6xy, para obtener dy/dx con cada paso de la regla de la cadena. Añade un punto para evaluar la pendiente, las rectas tangente y normal y la segunda derivada, y ve la curva dibujada en una gráfica.
Última actualización:
Usa x e y con ^ para potencias, sqrt, ln, e^x, sin, cos, tan y multiplicación implícita (6xy). Un solo signo "="; sin él, la ecuación se lee como … = 0. Deja vacía la y del punto para despejar y en la curva.
Arrastra para desplazarte, usa la rueda para hacer zoom. Haz clic en la curva para mover el punto allí.
Paso a paso
Cómo usar Calculadora de derivación implícita
- Escribe la ecuación usando x e y, por ejemplo x^2 + y^2 = 25 o sin(x*y) = y.
- Opcionalmente, introduce un punto (x, y). Deja y vacío para que la calculadora encuentre la y correspondiente en la curva.
- Pulsa Hallar dy/dx (o Intro). La derivada aparece como una fracción, seguida de la pendiente y la recta tangente en tu punto.
- Lee los pasos: cada término se deriva respecto a x, se agrupan los términos con y′ y se despeja y′.
- Explora la gráfica: arrastra para desplazarte, usa la rueda para hacer zoom y haz clic en cualquier punto de la curva para evaluar allí la pendiente.
Cómo funciona la derivación implícita
- Deriva ambos lados respecto a x. Los términos que solo tienen x se derivan de forma normal.
- Aplica la regla de la cadena a los términos con y: d/dx[g(y)] = g′(y)·y′. Por ejemplo, d/dx(y³) = 3y²·y′ y d/dx(sin y) = cos y·y′.
- Usa la regla del producto en los términos mixtos: d/dx(xy) = y + x·y′ y d/dx(x²y) = 2xy + x²·y′.
- Agrupa todos los términos con y′ en un lado, saca y′ como factor común y divide.
Todo esto se resume en la fórmula dy/dx = −Fx / Fy para una ecuación escrita como F(x, y) = 0.
Ejemplo resuelto: el folium de Descartes
Deriva x³ + y³ = 6xy. El lado izquierdo da 3x² + 3y²·y′. El lado derecho necesita la regla del producto: 6y + 6x·y′. Así, 3x² + 3y²·y′ = 6y + 6x·y′. Agrupa los términos con y′: (3y² − 6x)·y′ = 6y − 3x². Divide y simplifica el factor común 3:
dy/dx = (2y − x²) / (y² − 2x), que es lo mismo que (x² − 2y) / (2x − y²), la forma que muestra la calculadora. En (3, 3) esto vale (6 − 9) / (9 − 6) = −1, así que la tangente allí es y = −x + 6.
Derivadas implícitas habituales
| Ecuación | dy/dx | Nota |
|---|---|---|
| x² + y² = r² | −x / y | Circunferencia: la tangente es perpendicular al radio |
| x²/a² + y²/b² = 1 | −b²x / (a²y) | Elipse |
| x²/a² − y²/b² = 1 | b²x / (a²y) | Hipérbola |
| xy = c | −y / x | Hipérbola equilátera |
| y² = 4ax | 2a / y | Parábola horizontal |
| x³ + y³ = 6xy | (2y − x²) / (y² − 2x) | Folium de Descartes |
Consejos
- Olvidar el y′ después de derivar un término con y es el error más común; la tabla de los pasos marca cada lugar donde aparece.
- Las tangentes horizontales aparecen donde el numerador es 0 (y el denominador no); las verticales, donde el denominador es 0.
- Comprueba siempre que tu punto cumple la ecuación original antes de sustituirlo. La calculadora te avisa si no la cumple.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la derivación implícita?
Es una forma de hallar dy/dx cuando y no está escrita como función explícita de x. Derivas ambos lados de la ecuación respecto a x, tratando y como función de x, así que cada derivada de un término con y lleva un factor dy/dx (la regla de la cadena). Después despejas dy/dx.
¿Cómo se deriva implícitamente x² + y² = 25?
Deriva cada término: d/dx(x²) = 2x, d/dx(y²) = 2y·dy/dx y d/dx(25) = 0. Eso da 2x + 2y·dy/dx = 0, así que dy/dx = −x/y. En el punto (3, 4) la pendiente es −3/4.
¿Hay una fórmula rápida?
Sí. Escribe la ecuación como F(x, y) = 0. Entonces dy/dx = −F_x / F_y, donde F_x y F_y son las derivadas parciales de F respecto a x y a y. Esto es exactamente lo que muestran los términos agrupados en la solución paso a paso.
¿Por qué la respuesta contiene x e y?
Porque la pendiente depende de dónde estés en la curva, y en una curva implícita una misma x puede pertenecer a varios puntos. En la circunferencia x² + y² = 25, x = 3 pertenece a (3, 4) con pendiente −3/4 y a (3, −4) con pendiente 3/4. Sustituye las dos coordenadas de un punto para obtener un número.
¿Cómo hallo la segunda derivada implícitamente?
Deriva dy/dx otra vez respecto a x, tratando todavía y como función de x, y sustituye la primera derivada donde aparezca y′. De forma equivalente, y″ = −(F_xx·F_y² − 2F_xy·F_x·F_y + F_yy·F_x²) / F_y³. La calculadora evalúa esto en tu punto.
¿Qué significa una tangente vertical o un punto singular?
Si F_y = 0 pero F_x ≠ 0 en un punto, la pendiente no está definida y la recta tangente es vertical, como en la circunferencia en (5, 0). Si F_x y F_y son ambas 0, el punto es singular (por ejemplo, donde una curva se cruza consigo misma) y no existe una única pendiente.
¿Qué funciones se admiten?
Polinomios, productos y cocientes de x e y, potencias y raíces, e^x y otras exponenciales, ln y log, funciones trigonométricas, trigonométricas inversas e hiperbólicas, y abs. Se entiende la multiplicación implícita como 6xy o 2x·y.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.
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