Calculadora de recta tangente
Escribe una función y un valor de x para obtener la ecuación de la recta tangente en forma pendiente-ordenada y punto-pendiente, además de la recta normal, la derivada y la pendiente. La gráfica muestra la curva, ambas rectas y el punto de tangencia.
Última actualización:
Usa x como variable: ^ para potencias, sqrt, cbrt, ln, log, e^x, sin, cos, tan, sec, asin, atan, abs, pi. Puedes escribir 2x o 3sin(x) sin problema. El punto puede ser una expresión como pi/3 o 1/2.
Arrastra para desplazarte y usa la rueda para hacer zoom. Marca Escala igual para ver la recta normal en un ángulo recto real.
Paso a paso
Aproximación lineal cerca del punto
Cerca de x₀, la recta tangente L(x) es un buen sustituto de f(x). El error crece a medida que te alejas.
Cómo usar Calculadora de recta tangente
- Escribe la función f(x), por ejemplo x^3 - 3x + 1, sin(x) o sqrt(x).
- Introduce el valor de x del punto de tangencia. Se admiten expresiones como pi/6 o -1/2.
- Pulsa Calcular recta tangente (o Intro). Aparecen las ecuaciones de la tangente y la normal con la pendiente y el punto.
- Revisa la gráfica: arrastra para desplazarte, usa la rueda o + y − para hacer zoom, y marca Escala igual para ver ángulos rectos reales.
- Lee los pasos y la tabla de aproximación lineal, y copia las ecuaciones si las necesitas.
Fórmula de la recta tangente
La recta tangente a y = f(x) en x = x₀ toca la curva en (x₀, f(x₀)) y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto:
- Pendiente: m = f′(x₀)
- Forma punto-pendiente: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)
- Forma pendiente-ordenada: y = mx + b, donde b = f(x₀) − m·x₀
- Recta normal: y − f(x₀) = −(1/m)(x − x₀), o x = x₀ cuando m = 0
Ejemplo resuelto
Halla la tangente a f(x) = x³ − 3x + 1 en x = 2. Primero f(2) = 8 − 6 + 1 = 3, así que el punto es (2, 3). La derivada es f′(x) = 3x² − 3, así que la pendiente es f′(2) = 12 − 3 = 9. Forma punto-pendiente: y − 3 = 9(x − 2). Al desarrollar se obtiene y = 9x − 15. La recta normal tiene pendiente −1/9: y = −x/9 + 29/9.
Las derivadas que más vas a necesitar
| f(x) | f′(x) | Tangente de ejemplo |
|---|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ | x² en x = 3: y = 6x − 9 |
| √x | 1 / (2√x) | en x = 4: y = x/4 + 1 |
| eˣ | eˣ | en x = 0: y = x + 1 |
| ln x | 1 / x | en x = 1: y = x − 1 |
| sin x | cos x | en x = 0: y = x |
| cos x | −sin x | en x = 0: y = 1 (horizontal) |
| 1 / x | −1 / x² | en x = 1: y = −x + 2 |
Consejos
- Las funciones trigonométricas usan radianes, así que el punto π/4 debe escribirse como pi/4, no 45.
- Una tangente horizontal (pendiente 0) indica un punto estacionario: un máximo local, un mínimo o una inflexión plana.
- Si te dan una pendiente en lugar de un punto, iguala f′(x) a esa pendiente, despeja x y usa esta calculadora en cada solución.
- Para curvas definidas por una ecuación en x e y, como una circunferencia, usa primero la derivación implícita para obtener la pendiente.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se halla la ecuación de una recta tangente?
Evalúa la función en el punto para obtener y₀ = f(x₀), deriva para obtener la pendiente m = f′(x₀) y sustituye ambos en la forma punto-pendiente y − y₀ = m(x − x₀). Al reordenar se obtiene y = mx + b con b = y₀ − m·x₀.
¿Qué es la recta normal?
La recta normal pasa por el mismo punto pero es perpendicular a la tangente. Su pendiente es el inverso negativo −1/m. Si la tangente es horizontal (m = 0), la recta normal es vertical, x = x₀.
¿Qué significa la pendiente de la recta tangente?
Es la tasa de cambio instantánea de la función en ese punto, que es exactamente la derivada f′(x₀). Una pendiente positiva significa que la función es creciente ahí, una negativa que es decreciente, y cero indica un posible máximo o mínimo.
¿Cuándo tiene una función una tangente vertical?
Cuando la gráfica es continua pero la derivada crece sin límite en el punto, como f(x) = ∛x en x = 0. La recta tangente es entonces x = x₀ y su pendiente no está definida. La calculadora detecta este caso.
¿Por qué dice que no hay recta tangente?
En una esquina o un punto cuspidal, como |x| en x = 0, las pendientes por la izquierda y por la derecha son distintas, así que ninguna recta única toca la gráfica ahí. La función no es derivable en ese punto, y la herramienta muestra las dos pendientes laterales.
¿Qué es una aproximación lineal?
Cerca de x₀, la recta tangente L(x) = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) está próxima a la curva, así que sirve para estimar valores. Por ejemplo, la tangente a √x en x = 4 es L(x) = x/4 + 1, que da √4.1 ≈ 2.025 (el valor real es 2.0248…). La tabla muestra cómo crece el error con la distancia.
¿Qué funciones puedo introducir?
Polinomios, fracciones, potencias y raíces (sqrt, cbrt, x^(1/3)), exponenciales (e^x, 2^x), logaritmos (ln, log), funciones trigonométricas y trigonométricas inversas, funciones hiperbólicas y abs. Los ángulos van en radianes.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.
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