Calculadora de derivadas parciales
Introduce una función de x, y y z, elige las variables respecto a las que derivar y obtén la derivada parcial exacta con cada regla explicada. Evalúala en un punto y consulta el gradiente completo y la matriz hessiana.
Última actualización:
Variables x, y, z (y t). Usa ^ para potencias, * o multiplicación implícita (3xy), sqrt, ln, log, e^x, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, abs, pi.
Toca las variables en orden: x = ∂f/∂x, xx = ∂²f/∂x², xy = fxy (primero x, luego y).
Paso a paso
Gradiente (todas las primeras derivadas parciales)
Segundas derivadas parciales (hessiana)
Cómo usar Calculadora de derivadas parciales
- Escribe la función con x, y y z, por ejemplo x^2*y^3 + 3xy o sin(x*y). O toca un ejemplo.
- Elige la derivada: toca ∂/∂x, ∂/∂y o ∂/∂z en el orden que quieras, o un atajo como fxx o fxy. El cuadro de orden muestra la secuencia (xy significa primero x y luego y).
- Opcionalmente, introduce un punto como x = 1, y = 2 para evaluar ahí la derivada.
- Pulsa Calcular derivada parcial para ver el resultado, el valor en el punto y los pasos.
- Desplázate hacia abajo para ver el gradiente y la hessiana, y copia el resultado con un clic.
Reglas de las derivadas parciales
Todas las reglas de una variable siguen funcionando. La única idea nueva es que las demás variables se comportan como constantes. Así queda cada regla al derivar con respecto a x:
| Regla | Patrón | Ejemplo f(x, y) | ∂f/∂x |
|---|---|---|---|
| Constante | Términos sin x → 0 | 5y³ | 0 |
| Múltiplo constante | ∂/∂x [c(y)·g(x)] = c(y)·g′(x) | y²·x³ | 3x²y² |
| Potencia | ∂/∂x xⁿ = n·xⁿ⁻¹ | x⁴ + y | 4x³ |
| Producto | (uv)′ = u′v + uv′ | x·sin(xy) | sin(xy) + xy·cos(xy) |
| Cociente | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² | x/(x + y) | y/(x + y)² |
| Cadena | ∂/∂x g(u) = g′(u)·∂u/∂x | ex²y | 2xy·ex²y |
| Logaritmo | ∂/∂x ln(u) = (∂u/∂x)/u | ln(x² + y²) | 2x/(x² + y²) |
Chuleta de notación
| Subíndice | Leibniz | Significado | Se introduce como |
|---|---|---|---|
| fx | ∂f/∂x | Tasa de cambio en la dirección x | x |
| fxx | ∂²f/∂x² | Concavidad en la dirección x | xx |
| fxy | ∂²f/∂y∂x | Primero x, luego y | xy |
| fyx | ∂²f/∂x∂y | Primero y, luego x | yx |
| fxyz | ∂³f/∂z∂y∂x | x, luego y, luego z | xyz |
Ejemplo resuelto con el criterio de la segunda derivada
Toma f(x, y) = x³ − 3xy + y³. Las primeras parciales son fx = 3x² − 3y y fy = 3y² − 3x. Igualar ambas a cero da y = x² y x = y², así que los puntos críticos son (0, 0) y (1, 1). Las segundas parciales son fxx = 6x, fyy = 6y y fxy = −3, así que D = 36xy − 9. En (0, 0), D = −9 < 0: un punto de silla. En (1, 1), D = 27 > 0 y fxx = 6 > 0: un mínimo local con f(1, 1) = −1. Escribe la función arriba y evalúala en cada punto para comprobar cada número.
¿Quieres ver la superficie? Pega la misma función en la Calculadora gráfica 3D para girarla y localizar el punto de silla y el mínimo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una derivada parcial?
Una derivada parcial mide cómo cambia una función de varias variables cuando solo cambia una variable y todas las demás se mantienen constantes. Para f(x, y) = x²y³, tratar y como constante da ∂f/∂x = 2xy³, y tratar x como constante da ∂f/∂y = 3x²y².
¿Cómo se calcula una derivada parcial?
Elige la variable respecto a la que derivas, trata cualquier otra variable como si fuera un número y aplica las reglas de derivación habituales (de la potencia, del producto, del cociente y de la cadena). Los términos que no contienen la variable son constantes y su derivada es 0.
¿Qué significa f_xy?
f_xy es una segunda derivada parcial mixta: deriva f primero con respecto a x y luego deriva el resultado con respecto a y. En notación de Leibniz se escribe ∂²f/∂y∂x, con las variables leídas de derecha a izquierda. Aquí se introduce como la secuencia xy.
¿f_xy es siempre igual a f_yx?
Para funciones cuyas segundas derivadas parciales son continuas (lo que ocurre con casi todas las fórmulas que verás en clase), el orden no importa, así que f_xy = f_yx. Es el teorema de Clairaut (o de Schwarz). La sección de la hessiana lo comprueba para tu función.
¿Qué es el gradiente?
El gradiente ∇f es el vector de todas las primeras derivadas parciales, ⟨f_x, f_y, f_z⟩. En un punto, apunta en la dirección de máximo crecimiento de f, y su longitud es la tasa de crecimiento en esa dirección.
¿Para qué sirve la matriz hessiana?
La hessiana es la matriz de todas las segundas derivadas parciales. En un punto crítico (donde el gradiente es cero) clasifica el punto: para dos variables, D = f_xx·f_yy − f_xy². D > 0 con f_xx > 0 es un mínimo local, D > 0 con f_xx < 0 es un máximo local y D < 0 es un punto de silla.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.