Calculadora de límites
Introduce una función y el valor al que tiende x. La calculadora encuentra el límite exacto con la regla usada en cada paso (sustitución, factorización, conjugados, regla de L'Hôpital, términos dominantes), comprueba ambos lados y muestra una tabla de valores y una gráfica para que veas cómo se produce el límite.
Última actualización:
Valores de f cada vez más cerca del punto. Deberían estabilizarse hacia el límite.
Las líneas discontinuas marcan el punto y el valor del límite; un punto hueco marca el límite.
Cómo usar Calculadora de límites
- Escribe la función, por ejemplo sin(x)/x o (1 + 1/x)^x. Usa ^ para las potencias y sqrt() para las raíces.
- Introduce el punto al que tiende x: un número, una expresión como pi/2, o pulsa ∞ / −∞.
- Elige la dirección: bilateral, por la izquierda o por la derecha.
- Pulsa Calcular límite para ver la respuesta, los pasos, la tabla de valores y la gráfica.
- Copia el resultado si lo necesitas en otro sitio.
Estrategia para calcular un límite
- Sustituye directamente. Si f es continua en a (polinomios, raíces, exponenciales, sin y cos en sus dominios), el límite es simplemente f(a): lim x→2 de x² + 3x = 10.
- Si obtienes un número distinto de cero entre 0, la función se dispara. Comprueba el signo a cada lado: 1/x tiende a −∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha, así que el límite bilateral no existe.
- Si obtienes 0/0, simplifica: factoriza y cancela ((x² − 1)/(x − 1) → x + 1 → 2), multiplica por un conjugado en el caso de raíces cuadradas o usa la regla de L'Hôpital.
- En ±∞, quédate solo con los términos dominantes. Las exponenciales dominan a las potencias, y las potencias a los logaritmos: x³/eˣ → 0 y ln(x)/x → 0.
- Para potencias variables como (1 + 1/x)ˣ, escribe f = e^(g·ln h) y calcula el límite del exponente: x·ln(1 + 1/x) → 1, así que el límite es e.
Límites notables que conviene memorizar
| Límite | Valor | Comentario |
|---|---|---|
| lim x→0 sin(x)/x | 1 | Base de la derivada de sin; x en radianes |
| lim x→0 (1 − cos x)/x² | 1/2 | A partir de cos x ≈ 1 − x²/2 |
| lim x→0 (eˣ − 1)/x | 1 | Derivada de eˣ en 0 |
| lim x→0 ln(1 + x)/x | 1 | Derivada de ln en 1 |
| lim x→∞ (1 + 1/x)ˣ | e ≈ 2.71828 | Definición de e; (1 + k/x)ˣ → eᵏ |
| lim x→0⁺ x·ln x | 0 | Las potencias dominan a los logaritmos |
| lim x→0⁺ xˣ | 1 | Forma 0⁰, mediante e^(x ln x) |
| lim x→∞ xⁿ/eˣ | 0 | Para todo n; las exponenciales dominan |
| lim x→∞ (√(x² + x) − x) | 1/2 | ∞ − ∞, resuelto con el conjugado |
| lim x→0 x·sin(1/x) | 0 | Teorema del sándwich: |x sin(1/x)| ≤ |x| |
Límites laterales
El límite por la izquierda lim x→a⁻ usa solo valores x < a y el límite por la derecha lim x→a⁺ usa solo x > a. El límite bilateral existe exactamente cuando ambos límites laterales existen y son iguales. Los límites laterales son necesarios en el borde de un dominio (ln x y √x solo tienen sentido para x → 0⁺), en los saltos y en las asíntotas verticales, como tan x en π/2.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un límite?
El límite de f(x) cuando x tiende a a es el valor al que f(x) se acerca tanto como se quiera cuando x se acerca a a, sin necesidad de que x sea igual a a. Por ejemplo, sin(x)/x no está definida en x = 0, pero sus valores se acercan a 1, así que el límite es 1.
¿Cuándo no existe un límite?
Un límite bilateral no existe cuando los límites por la izquierda y por la derecha son distintos (|x|/x en 0 da −1 y 1), cuando la función oscila sin estabilizarse (sin(1/x) en 0 o sin(x) en el infinito), o cuando la función crece sin límite con signos opuestos a cada lado (1/x en 0). Un límite de +∞ o −∞ técnicamente tampoco existe, pero describe cómo se comporta la función.
¿Qué es la regla de L'Hôpital?
Si f(x)/g(x) da la indeterminación 0/0 o ∞/∞ en el punto, entonces lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x), siempre que exista el límite de la derecha. La calculadora deriva el numerador y el denominador por separado y repite si la forma sigue siendo indeterminada.
¿Cómo se calculan los límites al infinito de funciones racionales?
Compara los grados del numerador y del denominador. Si el numerador tiene menor grado, el límite es 0. Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales, así que (3x² + 2)/(5x² − x) → 3/5. Si el numerador tiene mayor grado, la función tiende a +∞ o −∞.
¿Qué son las indeterminaciones?
Expresiones como 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞ − ∞, 1^∞, 0⁰ y ∞⁰ no tienen un valor fijo; el límite depende de la rapidez con que cambia cada parte. La calculadora las reescribe (como cociente, como una sola fracción, con un conjugado o como e elevado a un logaritmo) hasta que una regla da el valor.
¿Por qué la respuesta dice estimación numérica?
Si ninguna regla simbólica resuelve el problema, el límite se estima a partir de valores de la función muy cercanos al punto y, cuando es posible, se asocia a una constante exacta como 1/3, π o ln 2. Tómalo como una pista sólida más que como una demostración y revisa la tabla y la gráfica.
¿Los ángulos están en radianes?
Sí. Las funciones trigonométricas usan radianes, que es lo que suponen los límites de cálculo como sin(x)/x → 1. Escribe π como pi, por ejemplo tan(x) cuando x → pi/2.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.