Calculadora de tasa de cambio promedio
Escribe una función y un intervalo [a, b], dos puntos o una tabla de valores para hallar la tasa de cambio promedio. También obtienes f(a), f(b), la ecuación de la recta secante, el cambio porcentual y una gráfica con la recta secante sobre la curva.
Última actualización:
Usa x, + − * / ^, paréntesis, sqrt, sin, cos, tan, ln, log, exp, abs, pi, e. Ejemplo: 2x^3 - 5x o sqrt(x+1). Las funciones trigonométricas usan radianes.
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Cómo usar Calculadora de tasa de cambio promedio
- Elige el tipo de entrada: una función, dos puntos o una tabla de datos.
- Introduce la función y el intervalo, por ejemplo x^2 + 3x − 4 desde a = 1 hasta b = 4.
- O escribe los puntos o las filas de la tabla como pares x, y. Añade unidades si quieres una tasa como millas por hora.
- Pulsa Calcular tasa para obtener la tasa de cambio promedio, f(a), f(b) y la recta secante.
- Revisa la gráfica y los pasos para ver cómo se halló la pendiente entre A y B.
La fórmula de la tasa de cambio promedio
Para una función f en el intervalo [a, b]:
Tasa de cambio promedio = (f(b) − f(a)) ÷ (b − a) = Δy ÷ Δx
Geométricamente, es la pendiente de la recta secante que pasa por A(a, f(a)) y B(b, f(b)). La ecuación de la recta secante es y = m(x − a) + f(a), donde m es la tasa de cambio promedio. Con unidades, la tasa se lee como "unidades de y por unidad de x", por ejemplo millas por hora, dólares por año o grados por minuto.
Ejemplos
| Función o datos | Intervalo | f(a), f(b) | Tasa de cambio promedio |
|---|---|---|---|
| f(x) = x² + 3x − 4 | [1, 4] | 0, 24 | 24 ÷ 3 = 8 |
| f(x) = x³ | [−1, 2] | −1, 8 | 9 ÷ 3 = 3 |
| f(x) = √x | [4, 9] | 2, 3 | 1 ÷ 5 = 0.2 |
| f(x) = 2ˣ | [0, 3] | 1, 8 | 7 ÷ 3 ≈ 2.333 |
| f(x) = 1/x | [1, 2] | 1, 0.5 | −0.5 ÷ 1 = −0.5 |
| Viaje en coche: 0 mi a las 0 h, 120 mi a las 2.5 h | [0, 2.5] | 0, 120 | 48 millas por hora |
Consejos
- Mantén el orden coherente: si arriba restas f(a) a f(b), abajo resta a a b. Invertir ambos da el mismo resultado.
- La tasa promedio solo depende de los dos extremos. Usa la tabla de subintervalos para ver cómo cambia la tasa dentro del intervalo.
- El cociente de diferencias [f(x + h) − f(x)] ÷ h es la misma fórmula con a = x y b = x + h. Al hacer que h tienda a 0 se obtiene la derivada.
- En las funciones trigonométricas, los ángulos están en radianes, así que sin(x) en [0, π/2] tiene una tasa promedio de 1 ÷ 1.5708 ≈ 0.6366.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la tasa de cambio promedio?
Tasa de cambio promedio = [f(b) − f(a)] ÷ (b − a). Es el cambio de la salida dividido entre el cambio de la entrada en el intervalo [a, b], que es la pendiente de la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
¿Cómo se halla la tasa de cambio promedio de una función?
Evalúa la función en ambos extremos, réstalos para obtener el cambio en y, resta los valores de x para obtener el cambio en x y divide. Para f(x) = x² + 3x − 4 en [1, 4]: f(4) = 24 y f(1) = 0, así que la tasa es (24 − 0) ÷ (4 − 1) = 8.
¿La tasa de cambio promedio es lo mismo que la pendiente?
Sí. Es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los dos extremos. Para una recta, la tasa de cambio promedio es la misma en cualquier intervalo; para una curva, cambia según el intervalo que elijas.
¿Cuál es la diferencia entre la tasa de cambio promedio y la instantánea?
La tasa promedio usa dos puntos y describe el cambio total a lo largo de un intervalo. La tasa instantánea es la derivada en un único punto, la pendiente de la recta tangente. A medida que el intervalo se reduce hacia un punto, la tasa promedio se aproxima a la instantánea.
¿Cómo hallo la tasa de cambio promedio a partir de una tabla?
Elige las dos filas del inicio y el final del intervalo y divide la diferencia de los valores de y entre la diferencia de los valores de x. En el modo de tabla, la calculadora lo hace para las filas que elijas y para cada par de filas consecutivas.
¿Qué significa una tasa de cambio promedio negativa?
Significa que la salida disminuyó en conjunto de a a b. Por ejemplo, una temperatura que baja de 20° a 8° en 4 horas tiene una tasa de cambio promedio de −3 grados por hora.
¿Puede la tasa de cambio promedio ser cero si la función cambia?
Sí. Si f(a) y f(b) son iguales, la tasa promedio es 0 aunque la función suba y baje entre medias. Para f(x) = x² en [−2, 2], ambos extremos valen 4, así que la tasa de cambio promedio es 0.
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