Calculadora de vectores
Introduce dos vectores A y B en 2D o 3D y elige una operación. Obtienes la respuesta con cada paso desarrollado con tus números, además de una tabla con todas las demás operaciones a la vez y un diagrama para vectores 2D.
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Cómo usar Calculadora de vectores
- Elige 2D o 3D.
- Selecciona la operación, por ejemplo el producto vectorial o el ángulo entre los vectores.
- Introduce las componentes del vector A y del vector B.
- Pulsa Calcular para ver el resultado y los pasos.
- Revisa la tabla para ver todas las demás operaciones, o copia los resultados.
Fórmulas de vectores
| Operación | Fórmula (A = ⟨Aₓ, Aᵧ, A𝓏⟩, B = ⟨Bₓ, Bᵧ, B𝓏⟩) | Tipo de resultado |
|---|---|---|
| Suma | A + B = ⟨Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ, A𝓏 + B𝓏⟩ | Vector |
| Resta | A − B = ⟨Aₓ − Bₓ, Aᵧ − Bᵧ, A𝓏 − B𝓏⟩ | Vector |
| Múltiplo escalar | kA = ⟨kAₓ, kAᵧ, kA𝓏⟩ | Vector |
| Magnitud | |A| = √(Aₓ² + Aᵧ² + A𝓏²) | Escalar |
| Producto escalar | A · B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A𝓏B𝓏 = |A||B| cos θ | Escalar |
| Producto vectorial | A × B = ⟨AᵧB𝓏 − A𝓏Bᵧ, A𝓏Bₓ − AₓB𝓏, AₓBᵧ − AᵧBₓ⟩ | Vector (3D) |
| Ángulo | θ = arccos((A · B) / (|A||B|)) | De 0° a 180° |
| Vector unitario | Â = A / |A| | Vector de longitud 1 |
| Proyección vectorial | proj_B A = (A · B / |B|²) B | Vector |
| Proyección escalar | comp_B A = A · B / |B| | Escalar |
Ejemplo resuelto
Para A = ⟨3, −2, 5⟩ y B = ⟨1, 4, −1⟩:
- A · B = 3·1 + (−2)·4 + 5·(−1) = −10, así que el ángulo es obtuso.
- |A| = √38 ≈ 6.1644, |B| = √18 ≈ 4.2426, así que cos θ = −10 / 26.153 ≈ −0.3824 y θ ≈ 112.48°.
- A × B = ⟨(−2)(−1) − 5·4, 5·1 − 3·(−1), 3·4 − (−2)·1⟩ = ⟨−18, 8, 14⟩, con longitud √584 ≈ 24.166 (el área del paralelogramo).
Propiedades que conviene recordar
- El producto escalar es conmutativo (A · B = B · A); el producto vectorial es anticonmutativo (A × B = −(B × A)).
- A · B = 0 significa perpendiculares; A × B = 0 significa paralelos (o un vector cero).
- |A × B| = |A||B| sen θ, el área del paralelogramo formado por A y B; la mitad es el área del triángulo.
- La dirección de A × B sigue la regla de la mano derecha.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el producto escalar?
Multiplica las componentes correspondientes y súmalas: A · B = AₓBₓ + AᵧBᵧ + A𝓏B𝓏. Para ⟨3, −2, 5⟩ y ⟨1, 4, −1⟩ es 3 − 8 − 5 = −10. Un producto escalar de 0 significa que los vectores son perpendiculares.
¿Cómo se calcula el producto vectorial?
Para vectores 3D, A × B = ⟨AᵧB𝓏 − A𝓏Bᵧ, A𝓏Bₓ − AₓB𝓏, AₓBᵧ − AᵧBₓ⟩. El resultado es perpendicular a A y a B, y su longitud es igual al área del paralelogramo que forman.
¿Existe el producto vectorial en 2D?
No como vector, pero tratar los vectores 2D como ⟨x, y, 0⟩ da ⟨0, 0, AₓBᵧ − AᵧBₓ⟩. El escalar AₓBᵧ − AᵧBₓ suele llamarse producto vectorial 2D: su signo indica si B está en sentido antihorario (positivo) u horario (negativo) respecto a A.
¿Cómo encuentro el ángulo entre dos vectores?
Usa cos θ = (A · B) / (|A| |B|) y luego θ = arccos de ese valor. El ángulo siempre está entre 0° y 180°. No está definido si alguno de los vectores es el vector cero.
¿Qué es un vector unitario?
Un vector de longitud 1 que apunta en la misma dirección. Divide cada componente entre la magnitud:  = A / |A|. Para ⟨3, 4⟩, |A| = 5 y  = ⟨0.6, 0.8⟩.
¿Qué es la proyección de A sobre B?
La proyección vectorial es proj_B A = (A · B / |B|²) B, la sombra de A a lo largo de B. La proyección escalar A · B / |B| es su longitud con signo. A − proj_B A es la parte de A perpendicular a B.
¿Cómo se calcula la magnitud de un vector?
Con el teorema de Pitágoras: |A| = √(Aₓ² + Aᵧ² + A𝓏²). Para ⟨3, −2, 5⟩ es √38 ≈ 6.164414.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.
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