Calculadora de números complejos
Trabaja con números complejos en forma a + bi. Suma, resta, multiplica o divide dos números, conviértelos a forma polar y exponencial, o elévalos a una potencia y halla todas las raíces n-ésimas con el teorema de De Moivre, cada operación con pasos y un gráfico en el plano complejo.
Última actualización:
Las raíces necesitan un número entero de 1 a 100
Cómo usar Calculadora de números complejos
- Elige la operación: aritmética, forma polar, una potencia o raíces.
- Introduce z₁ = a + bi (y z₂ = c + di para la aritmética, o n para potencias y raíces).
- Elige grados o radianes para los ángulos.
- Pulsa Calcular para ver el resultado en forma rectangular y polar.
- Lee los pasos y el gráfico del plano complejo, o copia los resultados.
Fórmulas de números complejos
| Operación | Fórmula |
|---|---|
| Suma | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i |
| Resta | (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i |
| Multiplicación | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i |
| División | (a + bi)/(c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²) |
| Módulo | |z| = √(a² + b²) |
| Argumento | θ = atan2(b, a) |
| Forma polar / exponencial | z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ) |
| Potencia (De Moivre) | zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ) |
| Raíces n-ésimas | w_k = r^(1/n)·(cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n)), k = 0 … n − 1 |
| Conjugado | z̄ = a − bi, y z·z̄ = a² + b² |
Potencias de i
Las potencias de i se repiten en un ciclo de cuatro, así que iⁿ depende solo de n mod 4.
| n mod 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| iⁿ | 1 | i | −1 | −i |
| Ejemplo | i⁴ = 1 | i⁵ = i | i¹⁰ = −1 | i⁷ = −i |
Ángulos comunes en forma polar
| z | Módulo r | Argumento θ | Forma polar |
|---|---|---|---|
| 1 + i | √2 ≈ 1.4142 | 45° (π/4) | √2 ∠ 45° |
| i | 1 | 90° (π/2) | 1 ∠ 90° |
| −1 | 1 | 180° (π) | 1 ∠ 180° |
| 3 + 4i | 5 | 53.1301° | 5 ∠ 53.13° |
| 1 + √3 i | 2 | 60° (π/3) | 2 ∠ 60° |
| −2 − 2i | 2√2 ≈ 2.8284 | −135° (−3π/4) | 2.8284 ∠ −135° |
Preguntas frecuentes
¿Cómo se multiplican números complejos?
Desarrolla como binomios y usa i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Para (3 + 4i)(1 − 2i) se obtiene (3 + 8) + (−6 + 4)i = 11 − 2i.
¿Cómo se dividen números complejos?
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: (a + bi)/(c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²). El denominador se convierte en un número real.
¿Cómo convierto un número complejo a forma polar?
El módulo es r = √(a² + b²) y el argumento es θ = atan2(b, a), que sitúa el ángulo en el cuadrante correcto. Entonces z = r(cos θ + i sin θ) = r·e^(iθ). Para 1 + i, r = √2 ≈ 1.4142 y θ = 45°.
¿Qué es el teorema de De Moivre?
Para z = r(cos θ + i sin θ) y un número entero n, zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ). Facilita las potencias: (1 + i)⁸ = (√2)⁸(cos 360° + i sin 360°) = 16.
¿Cuántas raíces n-ésimas tiene un número complejo?
Todo número complejo distinto de cero tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas. Tienen módulo r^(1/n) y argumentos (θ + 2πk)/n para k = 0 … n − 1, así que están igualmente espaciadas sobre una circunferencia. Las raíces cúbicas de 8 son 2 y −1 ± 1.732051i.
¿Qué rango usa el argumento?
El argumento principal que se devuelve aquí está entre −180° y 180° (−π a π radianes), tal como lo da atan2. Sumar cualquier múltiplo de 360° da el mismo número complejo.
¿Qué es el conjugado complejo?
El conjugado de a + bi es a − bi. Multiplicar un número por su conjugado da el número real a² + b² = |z|², por eso los conjugados se usan para dividir.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.