Calculadora de matrices
Introduce una o dos matrices de hasta 5 × 5 y elige una operación. Los resultados usan fracciones exactas, y los determinantes, las inversas y las reducciones por filas incluyen cada paso.
Última actualización:
Matriz A
Matriz B
Las celdas aceptan enteros, decimales y fracciones como -2/3. Las celdas vacías cuentan como 0.
Operación
Pasos
Cómo usar Calculadora de matrices
- Define el tamaño de la matriz A y la matriz B con los menús Filas y Columnas.
- Escribe los elementos: enteros, decimales o fracciones como 3/4. Usa Aleatoria o Identidad para rellenar rápido.
- Elige una operación como A × B, det, Inversa o RREF, y elige si se aplica a A o a B.
- Pulsa Calcular para ver el resultado y, para det, inversa, rango y RREF, cada paso de eliminación.
- Copia el resultado o pulsa Usar resultado como A para encadenar operaciones.
Operaciones con matrices de un vistazo
| Operación | Regla | Requisito de tamaño |
|---|---|---|
| A + B, A − B | Suma o resta los elementos correspondientes | Mismo tamaño |
| A × B | Elemento (i, j) = fila i de A · columna j de B | Columnas de A = filas de B; el resultado es filas(A) × columnas(B) |
| k × A | Multiplica cada elemento por k | Cualquiera |
| Aᵀ | Intercambia filas y columnas | Cualquiera; m × n pasa a n × m |
| det(A) | Producto de los pivotes tras la eliminación, con un cambio de signo por cada intercambio de filas | Cuadrada |
| A⁻¹ | Reduce por filas [A | I] a [I | A⁻¹] | Cuadrada con det ≠ 0 |
| RREF, rango | Eliminación de Gauss–Jordan; rango = número de pivotes | Cualquiera |
| tr(A) | Suma de la diagonal principal | Cuadrada |
La multiplicación de matrices no es conmutativa: A × B suele ser distinta de B × A, y una puede estar definida cuando la otra no.
Ejemplo práctico: inversa de una matriz 2 × 2
Para A = [[4, 7], [2, 6]], det(A) = 4·6 − 7·2 = 10. El atajo para matrices 2 × 2 es A⁻¹ = (1/det) × [[d, −b], [−c, a]] = (1/10) × [[6, −7], [−2, 4]] = [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]]. La calculadora obtiene la misma respuesta reduciendo [A | I] y mantiene los elementos como fracciones exactas.
Forma escalonada reducida por filas y rango
Una matriz está en forma escalonada reducida por filas (RREF) cuando cada fila no nula empieza con un 1 principal (el pivote), cada pivote está a la derecha del de la fila anterior, todos los demás elementos de una columna pivote son 0 y las filas de ceros están abajo. El rango es el número de pivotes. Indica cuántas filas (o columnas) son linealmente independientes: una matriz cuadrada n × n es invertible exactamente cuando su rango es n y su determinante no es cero.
Propiedades del determinante que conviene conocer
- Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
- Sumar a una fila un múltiplo de otra no lo cambia; por eso funciona la eliminación.
- det(A × B) = det(A) × det(B), y det(Aᵀ) = det(A).
- det(kA) = kⁿ det(A) para una matriz n × n.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la inversa de una matriz?
Escribe la matriz junto a la matriz identidad, [A | I], y aplica operaciones de fila hasta que el lado izquierdo se convierta en la identidad. El lado derecho es entonces A⁻¹. Si aparece un pivote cero que no se puede eliminar con un intercambio, la matriz no tiene inversa.
¿Cuándo una matriz no tiene inversa?
Una matriz cuadrada no es invertible (es singular) cuando su determinante es 0, lo que ocurre cuando sus filas o columnas son linealmente dependientes, de modo que su rango es menor que su tamaño. Las matrices no cuadradas nunca tienen una inversa normal.
¿Cómo se calcula el determinante?
La calculadora usa la eliminación gaussiana: convierte la matriz en triangular superior, multiplica los elementos de la diagonal y cambia el signo una vez por cada intercambio de filas. Es mucho más rápido que el desarrollo por cofactores en matrices grandes y da el mismo resultado.
¿Por qué no puedo multiplicar estas dos matrices?
A × B solo está definida cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Una matriz 2 × 3 puede multiplicar a una matriz 3 × 4 (dando 2 × 4), pero no a una matriz 2 × 3.
¿Qué me dice la RREF?
La forma escalonada reducida por filas muestra el rango, qué columnas son independientes (columnas pivote) y la solución de un sistema lineal cuando la matriz se amplía con el lado derecho.
¿La calculadora redondea los resultados?
No. Toda la aritmética se hace con fracciones exactas usando enteros grandes, así que no hay error de redondeo. Marca Mostrar decimales para ver aproximaciones decimales en su lugar.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.