Resolver sistemas de ecuaciones
Escribe tus ecuaciones lineales tal como las escribirías a mano, por ejemplo 2x + 3y − z = 5, una por línea. La calculadora encuentra las respuestas exactas como fracciones y muestra la eliminación gaussiana o la regla de Cramer paso a paso.
Última actualización:
Usa cualquier letra sola como incógnita. Los coeficientes pueden ser decimales o fracciones: 0.5x, 2/3y. Las constantes pueden estar a cualquier lado.
Cómo usar Resolver sistemas de ecuaciones
- Escribe una ecuación por línea, p. ej. 2x + 3y − z = 5.
- Usa decimales o fracciones como coeficientes si los necesitas (0.5x, 2/3y).
- Elige el método del procedimiento: eliminación gaussiana o regla de Cramer.
- Pulsa Resolver: la respuesta también se actualiza mientras escribes.
- Lee la solución y sigue los pasos y la comprobación.
Métodos para resolver sistemas lineales
Escribe el sistema como A·x = b, donde A contiene los coeficientes, x las incógnitas y b las constantes.
Regla de Cramer: xi = det(Ai) / det(A), donde Ai es A con la columna i sustituida por b. Para un sistema 2×2 ax + by = e, cx + dy = f: x = (ed − bf) / (ad − bc) e y = (af − ec) / (ad − bc).
Eliminación gaussiana: usa operaciones de fila sobre la matriz ampliada [A | b] para crear ceros debajo y encima de cada pivote, divide cada fila pivote para que el pivote valga 1 y lee la solución en la última columna.
Ejemplo: 3x + 2y = 16 y x − y = 2. D = 3·(−1) − 2·1 = −5, Dx = 16·(−1) − 2·2 = −20, Dy = 3·2 − 16·1 = −10, así que x = −20 / −5 = 4 e y = −10 / −5 = 2.
Tipos de soluciones
| Caso | Determinante | Geometría (2 incógnitas) | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Una solución única | ≠ 0 | Las rectas se cortan en un punto | x + y = 3, x − y = 1 → (2, 1) |
| Sin solución | = 0 | Rectas paralelas | x + 2y = 4, 2x + 4y = 9 |
| Infinitas | = 0 | La misma recta dos veces | x + 2y = 4, 2x + 4y = 8 |
Con tres incógnitas cada ecuación es un plano: una solución única es un solo punto donde se cortan los tres planos.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
Los métodos habituales son sustitución, reducción, eliminación gaussiana sobre la matriz ampliada y la regla de Cramer. Todos dan la misma respuesta cuando el sistema tiene solución única.
¿Qué es la regla de Cramer?
Para un sistema cuadrado Ax = b con det(A) ≠ 0, cada incógnita es igual a Dᵢ / D, donde D es el determinante de A y Dᵢ es el determinante de A con la columna i sustituida por b.
¿Qué es la eliminación gaussiana?
Aplica operaciones de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número, sumar a una fila un múltiplo de otra) a la matriz ampliada hasta llevarla a la forma escalonada reducida, de la que se lee directamente la solución.
¿Qué significa que el determinante sea cero?
El sistema no tiene solución única: o no tiene ninguna solución (las ecuaciones se contradicen) o tiene infinitas (una ecuación es combinación de las demás). La calculadora te dice cuál de los dos casos es.
¿Puedo usar fracciones y decimales?
Sí. Coeficientes como 0.25x o 3/4y se convierten en fracciones exactas y todos los cálculos son exactos, así que respuestas como x = 7/3 no se redondean.
¿Cuántas ecuaciones necesito?
Para una solución única necesitas tantas ecuaciones independientes como incógnitas: 2 para x e y, 3 para x, y y z.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.