Generador del triángulo de Pascal
Genera el triángulo de Pascal hasta la fila 30 con valores exactos, resalta cualquier fila y mírala convertida en un desarrollo binomial como (x + y)⁶ o (2x − 3)⁵. Sombrea los números impares para descubrir el patrón de Sierpinski.
Última actualización:
Hasta la fila 30
Se muestra su desarrollo binomial
p. ej., 2 y −3 para (2x − 3y)ⁿ
Cómo usar Generador del triángulo de Pascal
- Elige cuántas filas mostrar (de 0 a 30).
- Elige la fila que quieres resaltar; se calcula su desarrollo.
- Define los términos y sus coeficientes, por ejemplo x e y, o 2 y −3 para (2x − 3)ⁿ.
- Pulsa Generar para dibujar el triángulo y desarrollar el binomio.
- Marca la opción de sombreado para ver el patrón de los impares, o copia los resultados.
Filas 0 a 10 y sus desarrollos
| n | Fila n | Suma (2ⁿ) | (x + y)ⁿ |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 1 | 2 | x + y |
| 2 | 1 2 1 | 4 | x² + 2xy + y² |
| 3 | 1 3 3 1 | 8 | x³ + 3x²y + 3xy² + y³ |
| 4 | 1 4 6 4 1 | 16 | x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 | 32 | x⁵ + 5x⁴y + 10x³y² + 10x²y³ + 5xy⁴ + y⁵ |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 | 64 | x⁶ + 6x⁵y + 15x⁴y² + 20x³y³ + … |
| 7 | 1 7 21 35 35 21 7 1 | 128 | x⁷ + 7x⁶y + 21x⁵y² + 35x⁴y³ + … |
| 8 | 1 8 28 56 70 56 28 8 1 | 256 | x⁸ + 8x⁷y + 28x⁶y² + … |
| 9 | 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 | 512 | x⁹ + 9x⁸y + 36x⁷y² + … |
| 10 | 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 | 1,024 | x¹⁰ + 10x⁹y + 45x⁸y² + … |
Fórmulas clave
- Regla de Pascal: C(n, k) = C(n − 1, k − 1) + C(n − 1, k)
- Fórmula del elemento: C(n, k) = n! / (k!(n − k)!)
- Simetría: C(n, k) = C(n, n − k), así que cada fila se lee igual en ambos sentidos
- Teorema del binomio: (a + b)ⁿ = Σk=0n C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ
- Suma de la fila: Σ C(n, k) = 2ⁿ; palo de hockey: C(r, r) + C(r + 1, r) + … + C(n, r) = C(n + 1, r + 1)
El mayor número de la fila 30 es C(30, 15) = 155,117,520, y la fila 30 suma 2³⁰ = 1,073,741,824.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se construye el triángulo de Pascal?
Empieza con 1 arriba (fila 0). Cada fila empieza y termina con 1, y cada uno de los demás elementos es la suma de los dos números que tiene justo encima. La fila 4 es 1 4 6 4 1 porque 1 + 3 = 4 y 3 + 3 = 6.
¿Cuál es la fórmula de un elemento?
El elemento k de la fila n (ambos contados desde 0) es el coeficiente binomial C(n, k) = n! / (k!(n − k)!), el número de formas de elegir k elementos de n. Por ejemplo, C(6, 2) = 15.
¿Cómo ayuda el triángulo de Pascal a desarrollar (x + y)ⁿ?
Por el teorema del binomio, (x + y)ⁿ = Σ C(n, k) xⁿ⁻ᵏ yᵏ, así que la fila n da los coeficientes. La fila 3 es 1 3 3 1, por lo que (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³.
¿Y si los términos tienen coeficientes, como (2x − 3)⁵?
Multiplica cada coeficiente binomial por las potencias de los coeficientes de los términos: el término k es C(n, k)·(2x)⁵⁻ᵏ·(−3)ᵏ. El generador lo hace por ti y mantiene los números exactos.
¿Cuánto suma una fila?
Los elementos de la fila n suman 2ⁿ, porque elegir cualquier subconjunto de n elementos da 2ⁿ posibilidades. La fila 10 suma 1,024.
¿Por qué al sombrear los impares aparece un triángulo de Sierpinski?
Trabajando módulo 2, cada elemento es el XOR de los dos de arriba, lo que produce el patrón autosimilar de Sierpinski. Por el teorema de Lucas, C(n, k) es impar exactamente cuando cada dígito binario de k es como máximo el dígito correspondiente de n.
¿Qué otros patrones esconde el triángulo de Pascal?
Las diagonales contienen los números naturales, los números triangulares (1, 3, 6, 10, …) y los números tetraédricos; las diagonales poco inclinadas suman números de Fibonacci; y las filas 0–4 se leen como potencias de 11 (1, 11, 121, 1331, 14641).
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