Calculadora de desarrollo del binomio
Introduce los dos términos y la potencia para desarrollar (a + b)ⁿ. Los términos pueden ser números, fracciones, decimales o variables con potencias como 3x², −2y o 1/x. Obtienes el desarrollo completo con coeficientes fraccionarios exactos, una tabla con cada término, los coeficientes del triángulo de Pascal, el término central y cualquier número de término que pidas.
Última actualización:
e.g. x, 2x, 3x^2, x^2y, 1/2, -y
Usa un signo menos para (a − b), p. ej. -3 o -2y
Número entero de 0 a 100
1 = primer término; déjalo vacío para omitirlo
Cómo usar Calculadora de desarrollo del binomio
- Escribe el primer término a, por ejemplo x, 2x o 3x^2.
- Escribe el segundo término b; usa un signo menos para (a − b), por ejemplo -3 o -2y.
- Introduce la potencia n (un número entero) y, si solo necesitas un término, su número de término.
- Pulsa Desarrollar para ver el desarrollo completo y los pasos.
- Usa la tabla para comprobar cada término o copia el resultado.
El teorema del binomio con un ejemplo
(a + b)ⁿ = C(n,0)aⁿ + C(n,1)aⁿ⁻¹b + C(n,2)aⁿ⁻²b² + … + C(n,n)bⁿ, donde C(n, k) = n! / (k!(n − k)!).
Ejemplo: (2x + 3)⁴ usa la fila 4 del triángulo de Pascal, 1, 4, 6, 4, 1:
- 1 · (2x)⁴ = 16x⁴
- 4 · (2x)³ · 3 = 96x³
- 6 · (2x)² · 3² = 216x²
- 4 · 2x · 3³ = 216x
- 1 · 3⁴ = 81
Así, (2x + 3)⁴ = 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81. Comprobación: los coeficientes suman (2 + 3)⁴ = 625.
Coeficientes binomiales para potencias pequeñas
| n | Coeficientes | (a + b)ⁿ |
|---|---|---|
| 2 | 1, 2, 1 | a² + 2ab + b² |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
| 5 | 1, 5, 10, 10, 5, 1 | a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵ |
| 6 | 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 | a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + b⁶ |
Consejos
- Cómo encontrar el término con una potencia dada: en (x² − 1/x)⁹ el término general tiene x elevado a 2(9 − k) − k = 18 − 3k. El término independiente necesita 18 − 3k = 0, así que k = 6 y es el término 7. Introduce 7 como número de término para verlo.
- Mantén los paréntesis alrededor de todo el término al elevarlo a una potencia: (2x)³ = 8x³, no 2x³. Es el error más común al desarrollar a mano.
- Los signos alternos aparecen siempre que el segundo término es negativo.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el teorema del binomio?
El teorema del binomio dice que (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ para k = 0 a n, donde C(n, k) = n! / (k!(n − k)!) es un coeficiente binomial. El desarrollo tiene n + 1 términos, las potencias de a bajan de n a 0 mientras que las de b suben de 0 a n, y los exponentes de cada término suman n.
¿Cómo encuentro un término concreto en el desarrollo de un binomio?
El término (k + 1) es Tₖ₊₁ = C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Por ejemplo, el 4.º término de (x + 2)⁶ usa k = 3: C(6, 3)·x³·2³ = 20·x³·8 = 160x³. Introduce el número de término en el campo opcional para obtenerlo directamente.
¿Qué relación hay entre el triángulo de Pascal y el desarrollo del binomio?
La fila n del triángulo de Pascal (empezando por la fila 0) contiene los coeficientes C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n). Cada número es la suma de los dos que tiene encima. La fila 5 es 1, 5, 10, 10, 5, 1, que son los coeficientes de (a + b)⁵.
¿Cómo desarrollo (a − b)ⁿ?
Trátalo como (a + (−b))ⁿ. Los coeficientes son los mismos, pero los signos se alternan: los términos con potencias impares de b son negativos. Por ejemplo, (x − 1)³ = x³ − 3x² + 3x − 1. En la calculadora, basta con introducir el segundo término con un signo menos.
¿Qué es el término central?
Si n es par hay un término central, el término n/2 + 1, que tiene el mayor coeficiente binomial. Si n es impar hay dos términos centrales, los términos (n + 1)/2 y (n + 3)/2, con coeficientes binomiales iguales.
¿Cuánto suman los coeficientes?
Iguala todas las variables a 1. En (2x + 3)⁴ los coeficientes suman (2 + 3)⁴ = 625. Los coeficientes binomiales por sí solos siempre suman 2ⁿ.
¿Puedo usar una potencia negativa o fraccionaria?
No. Con un exponente negativo o fraccionario la serie binomial no termina nunca, así que no hay un desarrollo finito. Esta calculadora admite potencias enteras de 0 a 100.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.
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