Calculadora de conjuntos
Escribe hasta cuatro conjuntos y obtén a la vez todas las uniones, intersecciones, diferencias, diferencias simétricas y complementos, con un diagrama de Venn que cuenta los elementos de cada región. Introduce tu propia expresión, como (A ∪ B)′ ∩ C, para sombrearla en el diagrama.
Última actualización:
Separa los elementos con comas, espacios o saltos de línea; también funcionan rangos como 1-20
Se usa para los complementos. Déjalo vacío para usar la unión de todos los conjuntos.
Operadores: ∪ | + u (unión), ∩ & (intersección), − - \ (diferencia), △ ^ (diferencia simétrica), ′ ' (complemento). ∩ tiene más prioridad que los demás; usa paréntesis.
Cómo usar Calculadora de conjuntos
- Elige 2, 3 o 4 conjuntos con los botones de arriba.
- Escribe los elementos de cada conjunto, separados por comas, espacios o saltos de línea. Los duplicados se eliminan automáticamente y los rangos como 1-20 se expanden.
- Añade un conjunto universal U si necesitas complementos respecto a un conjunto mayor; si no, U es la unión de tus conjuntos.
- Escribe una expresión si quieres, como A ∩ B, A - B o (A u B)' & C. El resultado aparece arriba y se sombrea en el diagrama de Venn.
- Consulta las tablas de cada operación, las regiones de Venn y las comprobaciones de subconjuntos, y descarga cualquiera en CSV.
Operaciones con conjuntos de un vistazo
Un conjunto es una colección no ordenada de elementos distintos, así que {3, 1, 2, 2} es el mismo conjunto que {1, 2, 3}. Esta calculadora trata cada elemento como texto, lo que significa que funcionan números, palabras, letras y códigos. Los números se ordenan numéricamente y todo lo demás alfabéticamente.
| Operación | Símbolo | Escríbelo como | Contiene | A = {1,2,3}, B = {2,3,4} |
|---|---|---|---|---|
| Unión | A ∪ B | A ∪ B, A | B, A + B, A u B | elementos en A o en B (o en ambos) | {1, 2, 3, 4} |
| Intersección | A ∩ B | A ∩ B, A & B, A * B | elementos que están en A y en B | {2, 3} |
| Diferencia | A − B | A - B, A \ B | elementos en A pero no en B | {1} |
| Diferencia simétrica | A △ B | A △ B, A ^ B, A xor B | elementos que están exactamente en un conjunto | {1, 4} |
| Complemento | A′, Aᶜ | A', A^c, ~A | elementos de U que no están en A | con U = {1,…,5}: {4, 5} |
| Conjunto universal / vacío | U, ∅ | U, ∅, {} | todo / nada | — |
Identidades útiles
- Leyes de De Morgan: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ y (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′. Prueba ambos lados en el cuadro de expresión: los resultados coinciden.
- Diferencia como intersección: A − B = A ∩ B′.
- Leyes distributivas: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
- Recuento: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, y |A △ B| = |A| + |B| − 2|A ∩ B|.
- Subconjuntos: A ⊆ B exactamente cuando A ∩ B = A, que es lo mismo que A − B = ∅.
Cómo leer el diagrama de Venn
Dos conjuntos dividen el conjunto universal en 4 regiones, tres conjuntos en 8 y cuatro conjuntos en 16 (el diagrama de 4 conjuntos usa elipses, porque cuatro círculos no pueden mostrar todas las combinaciones). Cada número del diagrama es el recuento de elementos que pertenecen exactamente a esa combinación de conjuntos; pasa el cursor sobre un número para ver los elementos. La tabla Regiones del diagrama de Venn enumera los mismos recuentos con un ✓ por cada conjunto al que pertenece la región. Cuando introduces una expresión, se sombrean las regiones que forman su resultado.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre unión e intersección?
La unión A ∪ B contiene todos los elementos que están en A, en B o en ambos. La intersección A ∩ B contiene solo los elementos que están en los dos conjuntos. Para A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4}, la unión es {1, 2, 3, 4} y la intersección es {2, 3}.
¿Qué es A − B (diferencia de conjuntos)?
A − B, también escrito A \ B, es el conjunto de elementos de A que no están en B. El orden importa: con A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4}, A − B = {1} pero B − A = {4}.
¿Qué es la diferencia simétrica?
La diferencia simétrica A △ B contiene los elementos que están exactamente en uno de los dos conjuntos. Es igual a (A − B) ∪ (B − A), o a (A ∪ B) − (A ∩ B). Para los conjuntos anteriores es {1, 4}.
¿Cómo se calcula el complemento?
El complemento A′ (también escrito Aᶜ) es todo lo que está en el conjunto universal U y no en A, así que |A′| = |U| − |A|. El resultado depende de U, por eso puedes introducir tu propio conjunto universal. Si dejas U vacío, la calculadora usa la unión de todos tus conjuntos.
¿En qué orden se realizan las operaciones de una expresión?
Primero los paréntesis, luego los complementos (′) y después las intersecciones (∩). La unión, la diferencia y la diferencia simétrica tienen la misma prioridad y se realizan de izquierda a derecha. No todos los libros de texto coinciden en la precedencia, así que añadir paréntesis, por ejemplo (A − B) ∪ C, es la forma más segura de expresar lo que quieres.
¿Cómo cuento los elementos de una unión?
Usa el principio de inclusión–exclusión: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Para tres conjuntos, |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. La calculadora muestra estas sumas con tus números para que puedas comprobar tus deberes.
¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto?
Un conjunto con n elementos tiene 2ⁿ subconjuntos, incluidos el conjunto vacío y el propio conjunto, y 2ⁿ − 1 subconjuntos propios. Un conjunto de 4 elementos tiene 16 subconjuntos. La calculadora los enumera todos para conjuntos de hasta 6 elementos (64 subconjuntos).
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.