Calculadora de multiplicación de matrices
Introduce dos o tres matrices de cualquier tamaño compatible hasta 8 × 8 y obtén el producto A × B con cada producto escalar desarrollado. Toca un elemento del resultado para ver exactamente qué fila y qué columna lo produjeron.
Última actualización:
Los elementos pueden ser enteros, decimales o fracciones como -3/4. Las celdas vacías cuentan como 0. Usa Tab o las flechas para moverte entre celdas.
Resultado
Toca cualquier elemento del resultado para ver el producto escalar fila × columna que lo produjo.
Explorador de productos escalares
Todos los pasos
Cómo usar Calculadora de multiplicación de matrices
- Define las dimensiones de A y B con los menús de filas y columnas. El aviso te indica al momento si A × B está definido.
- Escribe los elementos: enteros, decimales o fracciones. Tab y las flechas te mueven entre celdas; Aleatoria e Identidad rellenan una matriz rápidamente.
- Pulsa Multiplicar (o Intro en cualquier celda) para obtener el producto.
- Toca cualquier elemento del resultado para ver resaltadas la fila de A, la columna de B y el producto escalar completo.
- Copia el resultado para una hoja de cálculo o en LaTeX, o pulsa Usar resultado como A para seguir multiplicando.
La regla de fila por columna
Si A es m × n y B es n × p, el producto C = AB es m × p y cada elemento es
cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj
En palabras: recorre la fila i de A y la columna j de B a la vez, multiplica los pares y suma. Las dimensiones interiores (las dos n) deben coincidir porque cada elemento de la fila necesita una pareja en la columna; las dimensiones exteriores dan la forma de la respuesta.
Referencia de dimensiones
| A | B | A × B | Multiplicaciones |
|---|---|---|---|
| 2 × 2 | 2 × 2 | 2 × 2 | 8 |
| 3 × 3 | 3 × 3 | 3 × 3 | 27 |
| 2 × 3 | 3 × 2 | 2 × 2 | 12 |
| 3 × 2 | 2 × 3 | 3 × 3 | 18 |
| 1 × 3 (vector fila) | 3 × 1 (vector columna) | 1 × 1 (producto escalar) | 3 |
| 3 × 1 | 1 × 3 | 3 × 3 (producto exterior) | 9 |
| 4 × 4 | 4 × 1 | 4 × 1 | 16 |
| 2 × 3 | 2 × 3 | no definido | – |
Propiedades que debes recordar
- No conmutativa: AB y BA suelen ser distintos. Prueba A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[0, 1], [1, 0]]: AB intercambia las columnas de A, mientras que BA intercambia sus filas.
- Asociativa: (AB)C = A(BC), así que una cadena se puede agrupar de cualquier forma, pero el orden de las matrices debe mantenerse.
- Distributiva: A(B + C) = AB + AC.
- Transpuesta de un producto: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, con el orden invertido.
- Los determinantes se multiplican: det(AB) = det(A)·det(B) para matrices cuadradas.
- Productos nulos: AB puede ser la matriz cero aunque ni A ni B sean cero, así que no puedes "cancelar" matrices como cancelas números.
Para determinantes, inversas y reducción por filas del resultado, continúa en la Calculadora de matrices.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se multiplican dos matrices?
Cada elemento del producto C = AB es un producto escalar: el elemento (i, j) es la fila i de A por la columna j de B, multiplicando los elementos correspondientes y sumándolos. Para A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]], c₁₁ = 1·5 + 2·7 = 19, c₁₂ = 1·6 + 2·8 = 22, c₂₁ = 3·5 + 4·7 = 43 y c₂₂ = 3·6 + 4·8 = 50.
¿Cuándo se pueden multiplicar dos matrices?
A × B solo está definido cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B. Si A es m × n y B es n × p, el producto es m × p. Una matriz 2 × 3 por una matriz 3 × 4 da una matriz 2 × 4, pero una matriz 2 × 3 no puede multiplicar a otra matriz 2 × 3.
¿La multiplicación de matrices es conmutativa?
No. En general AB ≠ BA, y uno puede estar definido cuando el otro no (2 × 3 por 3 × 4 funciona, pero 3 × 4 por 2 × 3 no). Usa Intercambiar A y B para comparar ambos órdenes. Sin embargo, la multiplicación de matrices es asociativa: (AB)C = A(BC).
¿Cuántas multiplicaciones se necesitan?
Multiplicar una matriz m × n por una matriz n × p requiere m·n·p multiplicaciones y m·(n − 1)·p sumas. Dos matrices 3 × 3 necesitan 27 multiplicaciones y 18 sumas, por eso ver cada paso ayuda a revisar los deberes.
¿Qué hace multiplicar por la matriz identidad?
La matriz identidad I tiene 1 en la diagonal y 0 en el resto. Para cualquier matriz A de tamaño compatible, AI = A e IA = A, igual que multiplicar un número por 1.
¿Puedo multiplicar una matriz por un vector?
Sí. Un vector columna es una matriz n × 1, así que define B con n filas y 1 columna. El producto de una matriz m × n por un vector n × 1 es un vector m × 1, la forma estándar de aplicar una transformación lineal.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.