Calculadora de ecuaciones cúbicas
Introduce los coeficientes a, b, c y d de ax³ + bx² + cx + d = 0 para obtener las tres raíces, reales o complejas. La calculadora muestra el discriminante, la cúbica reducida, la fórmula de Cardano o el método trigonométrico con tus números y una gráfica de la curva.
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Cómo usar Calculadora de ecuaciones cúbicas
- Introduce a, b, c y d de ax³ + bx² + cx + d = 0 (usa 0 si falta un término).
- Elige las cifras decimales que quieres ver.
- Pulsa Resolver (o simplemente escribe; los resultados se actualizan al instante).
- Lee las raíces, el discriminante y la forma factorizada.
- Sigue los pasos y revisa la gráfica y la tabla de residuos.
Cómo se resuelve una ecuación cúbica
- Reduce la cúbica. Sustituir x = t − b/(3a) elimina el término en x² y da t³ + pt + q = 0 con p = (3ac − b²)/(3a²) y q = (2b³ − 9abc + 27a²d)/(27a³).
- Comprueba el signo de q²/4 + p³/27. Tiene el signo opuesto al del discriminante Δ (Δ = −108a⁴ · (q²/4 + p³/27)).
- Una raíz real (q²/4 + p³/27 > 0): fórmula de Cardano, t = ∛(−q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(−q/2 − √(q²/4 + p³/27)). Con u y v las dos raíces cúbicas, el par complejo es −(u + v)/2 ± i·(√3/2)(u − v).
- Tres raíces reales (q²/4 + p³/27 < 0): tk = 2√(−p/3)·cos(⅓·arccos((3q/2p)·√(−3/p)) − 2πk/3) para k = 0, 1, 2.
- Raíces repetidas (= 0): una raíz simple t = 3q/p y una raíz doble t = −3q/(2p), o una raíz triple t = 0 cuando p = q = 0.
- Deshaz el cambio con x = t − b/(3a).
Ejemplos resueltos
| Ecuación | Discriminante Δ | Raíces |
|---|---|---|
| x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 | 4 (> 0) | 1, 2, 3 |
| x³ − 1 = 0 | −27 (< 0) | 1, −0.5 ± 0.866025i |
| x³ − 3x + 2 = 0 | 0 | −2, 1 (doble) |
| x³ − 3x² + 3x − 1 = 0 | 0 | 1 (triple) |
| x³ + x + 1 = 0 | −31 (< 0) | −0.682328, 0.341164 ± 1.161541i |
| 2x³ − 4x² − 22x + 24 = 0 | > 0 | −3, 1, 4 |
Datos útiles sobre las cúbicas
- Las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados (p + qi y p − qi).
- El punto de inflexión está en x = −b/(3a); la gráfica es simétrica respecto a ese punto.
- La curva tiene un máximo y un mínimo locales solo cuando b² − 3ac > 0.
- Las raíces racionales, si existen, son de la forma ±(divisor de d)/(divisor de a) según el teorema de la raíz racional.
Preguntas frecuentes
¿Cuántas raíces tiene una ecuación cúbica?
Exactamente tres, contadas con su multiplicidad, si se incluyen las raíces complejas. Una cúbica con coeficientes reales siempre tiene al menos una raíz real, porque la curva va de −∞ a +∞ y debe cortar el eje x.
¿Qué indica el discriminante de una cúbica?
Para ax³ + bx² + cx + d, Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Si Δ > 0 hay tres raíces reales distintas, si Δ = 0 hay una raíz repetida (todas las raíces son reales) y si Δ < 0 hay una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.
¿Qué es la fórmula de Cardano?
Tras sustituir x = t − b/(3a), la cúbica se convierte en t³ + pt + q = 0. La fórmula de Cardano da t = ∛(−q/2 + √(q²/4 + p³/27)) + ∛(−q/2 − √(q²/4 + p³/27)). Se usa cuando q²/4 + p³/27 > 0, que es el caso de una sola raíz real.
¿Por qué usar el método trigonométrico para tres raíces reales?
Cuando hay tres raíces reales distintas, la raíz cuadrada de la fórmula de Cardano es de un número negativo, así que la fórmula requiere aritmética compleja aunque todas las soluciones sean reales (el casus irreducibilis). La forma trigonométrica t = 2√(−p/3)·cos(⅓·arccos((3q/2p)√(−3/p)) − 2πk/3) da directamente las tres raíces reales.
¿Qué pasa si a = 0?
Entonces la ecuación no es cúbica. La calculadora te lo indica y resuelve la ecuación cuadrática restante bx² + cx + d = 0 (o la ecuación lineal cx + d = 0 si b también es 0).
¿Qué precisión tienen las raíces?
Las raíces se calculan en coma flotante de doble precisión y las raíces reales se refinan con el método de Newton. La tabla muestra el residuo |f(x)| de cada raíz, que suele ser del orden de 10⁻¹² o menor con coeficientes bien escalados.
¿Cómo puedo comprobar el resultado?
Por las fórmulas de Vieta, las tres raíces suman −b/a y su producto es −d/a. La calculadora muestra ambos valores y también puedes sustituir cada raíz en la ecuación (columna de residuo).
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.