Calculadora de sumas de Riemann
Ingresa una función, un intervalo [a, b] y el número de subintervalos n para aproximar el área bajo la curva. Mira los rectángulos por la izquierda, por la derecha, del punto medio o los trapecios dibujados en el gráfico, la tabla completa de puntos de muestra, el desarrollo y cuánto se acerca cada método a la integral real.
Última actualización:
Usa x como variable: ^, sqrt, ln, log, e^x, sin, cos, tan, abs, pi; 2x y 3sin(x) también funcionan. a y b pueden ser expresiones como pi/2. Los ángulos están en radianes.
Paso a paso
Tabla de valores
Cómo converge la suma al crecer n
Cómo usar Calculadora de sumas de Riemann
- Escribe la función f(x), por ejemplo x^2, sin(x) o e^(-x^2).
- Ingresa el intervalo a y b (se admiten expresiones como pi) y el número de subintervalos n.
- Elige el método: Izquierda, Derecha, Punto medio o Trapecio. La suma y el gráfico se actualizan al instante.
- Arrastra el control de n para ver cómo los rectángulos llenan el área y el error se reduce.
- Lee los pasos y la tabla, compara los métodos y descarga la tabla en CSV si la necesitas.
Fórmulas de sumas de Riemann
Con Δx = (b − a)/n y puntos de la partición xi = a + i·Δx para i = 0, 1, …, n:
| Método | Fórmula | Comportamiento del error (f suave) |
|---|---|---|
| Suma por la izquierda Lₙ | Δx·[f(x₀) + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁)] | Proporcional a 1/n |
| Suma por la derecha Rₙ | Δx·[f(x₁) + f(x₂) + … + f(xₙ)] | Proporcional a 1/n |
| Suma del punto medio Mₙ | Δx·[f(m₁) + … + f(mₙ)], mᵢ = (xᵢ₋₁ + xᵢ)/2 | Proporcional a 1/n² |
| Trapecios Tₙ | (Δx/2)·[f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)] | Proporcional a 1/n², aproximadamente el doble del error del punto medio |
| Simpson Sₙ (n par) | (Δx/3)·[f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)] | Proporcional a 1/n⁴ |
Ejemplo resuelto
Aproxima ∫₀² x² dx con n = 4. Aquí Δx = 0.5 y la partición es 0, 0.5, 1, 1.5, 2.
- Izquierda: 0.5·(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75
- Derecha: 0.5·(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 3.75
- Punto medio: 0.5·(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625
- Trapecio: (1.75 + 3.75)/2 = 2.75
El valor exacto es 8/3 ≈ 2.6667, así que la suma del punto medio es la más cercana, la de trapecios se pasa un poco y las sumas por la izquierda y por la derecha fallan por 0.92 y 1.08.
¿Sobrestimación o subestimación?
- f creciente: la suma por la izquierda se queda corta y la suma por la derecha se pasa. f decreciente: al revés.
- f cóncava hacia arriba (como x²): los trapecios sobrestiman y el punto medio subestima. Cóncava hacia abajo: al revés.
- La integral exacta siempre está entre las sumas por la izquierda y por la derecha cuando f es monótona en [a, b], y entre Mₙ y Tₙ cuando f mantiene la misma concavidad.
- Recuerda que la notación al estilo AP LRAM, RRAM y MRAM significa lo mismo que sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una suma de Riemann?
Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva, la integral definida de f de a a b, dividiendo [a, b] en n subintervalos de ancho Δx = (b − a)/n y sumando las áreas de rectángulos. La altura de cada rectángulo es el valor de la función en un punto de muestra elegido de su subintervalo.
¿Cuál es la diferencia entre las sumas por la izquierda, por la derecha y del punto medio?
Usan puntos de muestra distintos. Una suma por la izquierda usa el extremo izquierdo de cada subintervalo, de x₀ a xₙ₋₁; una suma por la derecha usa el extremo derecho, de x₁ a xₙ; una suma del punto medio usa el centro de cada subintervalo. Para una función creciente, la suma por la izquierda subestima el área y la suma por la derecha la sobrestima.
¿Cómo se calcula a mano una suma de Riemann por la izquierda?
Calcula Δx = (b − a)/n, lista los extremos izquierdos a, a + Δx, …, a + (n − 1)Δx, evalúa f en cada uno, suma los valores y multiplica por Δx. Para f(x) = x² en [0, 2] con n = 4: Δx = 0.5 y L₄ = 0.5·(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75.
¿Qué relación tiene la regla del trapecio con las sumas de Riemann?
La suma de trapecios es el promedio de las sumas por la izquierda y por la derecha: T = (L + R)/2. Une los puntos vecinos con líneas rectas en lugar de techos planos, así que T = (Δx/2)[f(x₀) + 2f(x₁) + … + 2f(xₙ₋₁) + f(xₙ)].
¿Qué método es el más preciso?
Para funciones suaves, las sumas del punto medio y de trapecios son mucho más precisas que las de la izquierda o la derecha: su error se reduce aproximadamente a la cuarta parte cada vez que n se duplica, frente a la mitad. La regla de Simpson, una combinación ponderada de ambas, es aún más precisa. La tabla de convergencia muestra estas razones para tu función.
¿Qué pasa cuando la función está por debajo del eje x?
Los rectángulos por debajo del eje tienen altura negativa, así que restan de la suma. Por eso una suma de Riemann aproxima el área con signo (neta). El gráfico sombrea las partes negativas en naranja; para obtener el área total, divide el intervalo donde f cambia de signo y suma los valores absolutos.
¿Por qué la suma se acerca a la integral cuando n crece?
Al aumentar n, los rectángulos se hacen más estrechos, así que siguen la curva más de cerca y los huecos o excesos se reducen. La integral definida se define como el límite de las sumas de Riemann cuando n → ∞ (para cualquier elección de puntos de muestra), siempre que la función sea integrable.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.