Calculadora de integrales
Calcula la integral definida de una función entre dos límites. La calculadora integra numéricamente con la regla de Simpson adaptativa con unas 10 cifras significativas, sombrea el área en un gráfico y muestra la antiderivada y la comprobación del teorema fundamental cuando f(x) es una suma simple de términos estándar.
Última actualización:
Usa x como variable. Admite + − * / ^, sin cos tan, asin acos atan, sinh cosh tanh, exp, ln, log (base 10), sqrt, cbrt, abs, pi, e.
Un número, o pi, 2pi, e, sqrt(2)…
Cómo usar Calculadora de integrales
- Escribe el integrando f(x), por ejemplo,
x^2 + 1,sin(x)oexp(-x^2). - Introduce los límites a y b. Puedes escribir números o expresiones como
pio2pi. - Pulsa Calcular integral para obtener la integral definida (área con signo).
- Lee los extras: antiderivada, área total, valor promedio y los pasos.
- Compara métodos en la tabla para ver cómo convergen las sumas de Riemann por la izquierda, la regla del punto medio y la del trapecio, y descárgala como CSV.
Fórmulas básicas de integración
| f(x) | Antiderivada ∫ f(x) dx | Ejemplo |
|---|---|---|
| k (constante) | k·x + C | ∫ 5 dx = 5x + C |
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C | ∫ x² dx = x³/3 + C |
| 1/x | ln|x| + C | ∫ de 1 a e de 1/x dx = 1 |
| e^(kx) | e^(kx) / k + C | ∫ e^(2x) dx = e^(2x)/2 + C |
| aˣ | aˣ / ln a + C | ∫ 2ˣ dx = 2ˣ/ln 2 + C |
| sin(kx) | −cos(kx) / k + C | ∫ de 0 a π de sin x dx = 2 |
| cos(kx) | sin(kx) / k + C | ∫ cos(3x) dx = sin(3x)/3 + C |
| sec²(kx) | tan(kx) / k + C | ∫ sec² x dx = tan x + C |
Comparación de métodos de integración numérica
La mayoría de las funciones no tienen una antiderivada sencilla (e−x² es el ejemplo clásico), así que las integrales se calculan numéricamente. Con n subintervalos de ancho h = (b − a)/n:
| Método | Fórmula en un subintervalo [x₀, x₁] | El error disminuye como |
|---|---|---|
| Suma de Riemann por la izquierda | h·f(x₀) | h (reducir h a la mitad reduce el error a la mitad) |
| Regla del punto medio | h·f((x₀ + x₁)/2) | h² |
| Regla del trapecio | h·[f(x₀) + f(x₁)]/2 | h² |
| Regla de Simpson | (h/6)·[f(x₀) + 4f(xₘ) + f(x₁)] | h⁴ |
La regla de Simpson adaptativa compara la estimación de Simpson en un tramo con la suma de las estimaciones en sus dos mitades. Si difieren más que la tolerancia, ambas mitades se vuelven a refinar, así que el esfuerzo se dedica solo donde la curva se dobla bruscamente. La diferencia dividida entre 15 se suma como corrección (extrapolación de Richardson), lo que hace el método aún más preciso.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una integral definida?
La integral definida ∫ de a a b de f(x) dx es el área con signo entre la gráfica de f y el eje x desde x = a hasta x = b. El área por encima del eje cuenta como positiva y el área por debajo como negativa. Si f tiene una antiderivada F, la integral es igual a F(b) − F(a) por el teorema fundamental del cálculo.
¿Qué tan preciso es el resultado?
La calculadora usa la regla de Simpson adaptativa: empieza con 16 paneles y sigue dividiendo a la mitad cada tramo cuya estimación de error sea demasiado grande, con el objetivo de un error inferior a 10⁻¹¹. Para funciones suaves, la respuesta suele ser correcta con 10 o más cifras significativas. Cuando se encuentra una antiderivada, se muestra el valor exacto F(b) − F(a) como comprobación.
¿Qué diferencia hay entre la integral y el área total?
La integral tiene signo, así que las partes por debajo del eje x restan. El área total integra |f(x)|, así que todas las partes cuentan como positivas. Para x³ − 4x de −2 a 3, la integral es 6.25, pero el área total es 14.25.
¿Puede resolver integrales impropias?
Sí, cuando la función tiende a infinito en uno de los límites, como 1/√x de 0 a 4 (resultado 4). Usa la sustitución x = a + t² cerca de ese límite y comprueba si el valor se estabiliza; si sigue creciendo, como en 1/x de 0 a 1, la calculadora indica que la integral diverge. No admite límites infinitos; usa un número grande en su lugar.
¿Qué antiderivadas puede mostrar?
Sumas de términos como c·xⁿ (incluido 1/x → ln|x|), c·e^(kx), c·aˣ, c·sin(kx), c·cos(kx), sinh, cosh y sec²(kx). Para cualquier otra cosa, como productos que requieren integración por partes, la integral numérica se sigue calculando, pero se omite la antiderivada simbólica.
¿Qué es la regla de Simpson?
La regla de Simpson aproxima f con una parábola en cada tramo: ∫ de x₀ a x₁ ≈ (h/6)·[f(x₀) + 4f(xₘ) + f(x₁)], donde xₘ es el punto medio y h el ancho. Es exacta para polinomios de hasta grado 3 y converge mucho más rápido que las sumas de rectángulos o trapecios.
¿Qué pasa si b es menor que a?
Intercambiar los límites cambia el signo: ∫ de b a a es igual a −∫ de a a b. La calculadora integra sobre el intervalo y aplica ese signo automáticamente.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.