Calculadora para racionalizar denominadores
Ingresa una fracción con una raíz cuadrada, una raíz cúbica o un radical de dos términos en el denominador y obtén el resultado exacto sin ninguna raíz abajo. Se muestra cada paso: simplificar los radicales, elegir el multiplicador o el conjugado, desarrollar y reducir.
Última actualización:
Usa 0 para omitir este término.
Negativo para un signo menos, p. ej. 3 − √2 → d = −1.
1 significa que no hay raíz en el numerador.
Cómo usar Calculadora para racionalizar denominadores
- Elige el tipo: un denominador binomio (dos términos) o una raíz simple como √12 o ∛4.
- Ingresa los coeficientes y los números bajo cada raíz. Usa 1 bajo la raíz para un número sin raíz y 0 para quitar un término.
- Usa coeficientes negativos para los signos menos; por ejemplo, 3 − √2 es c = 3 y d = −1.
- Pulsa Racionalizar para ver el resultado exacto, el multiplicador usado y el valor decimal.
- Lee los pasos para ver cómo el denominador se convierte en un número entero.
Cómo funciona la racionalización
Una fracción conserva su valor cuando multiplicas el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero. Racionalizar consiste en elegir ese número para que el denominador se convierta en un número entero:
- Una raíz cuadrada, √c: multiplica por √c, porque √c · √c = c.
- Raíz cúbica o superior, ⁿ√c: multiplica por la raíz que completa una potencia n-ésima perfecta. Después de simplificar, si c = pe·qf… multiplica por ⁿ√(pn−e·qn−f…).
- Dos términos, a + b√q o a√p + b√q: multiplica por el conjugado (los mismos términos con el signo del medio opuesto). La diferencia de cuadrados (x + y)(x − y) = x² − y² elimina todas las raíces cuadradas.
Simplifica siempre primero los radicales (√12 = 2√3, ∛16 = 2∛2). Así el multiplicador es pequeño y el resultado final es fácil de reducir.
Ejemplos resueltos
| Expresión | Multiplica arriba y abajo por | Nuevo denominador | Resultado simplificado |
|---|---|---|---|
| 1/√2 | √2 | 2 | √2/2 |
| 6/√12 = 6/(2√3) | √3 | 6 | √3 |
| √3/√8 = √3/(2√2) | √2 | 4 | √6/4 |
| 5/(2∛3) | ∛9 | 6 | 5∛9/6 |
| 1/∛4 | ∛2 | 2 | ∛2/2 |
| 4/(3 + √5) | 3 − √5 | 9 − 5 = 4 | 3 − √5 |
| (1 + √2)/(3 − √2) | 3 + √2 | 9 − 2 = 7 | (5 + 4√2)/7 |
| 1/(√3 − √2) | √3 + √2 | 3 − 2 = 1 | √3 + √2 |
| (2 + √3)/(2 − √3) | 2 + √3 | 4 − 3 = 1 | 7 + 4√3 |
Consejos para comprobar tu trabajo
- Compara los decimales: la forma original y la racionalizada deben dar el mismo valor (la calculadora lo muestra).
- Fíjate en el signo del conjugado. Para 3 − √2 el conjugado es 3 + √2, no −3 − √2.
- Los binomios con raíz cúbica como 1/(1 + ∛2) necesitan la identidad de la suma de cubos a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), así que el multiplicador es 1 − ∛2 + ∛4. Estos casos quedan fuera de los dos modos de esta calculadora.
- Si el denominador se simplifica a un número entero (por ejemplo, √9 = 3), no queda nada que racionalizar; solo reduce la fracción.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa racionalizar el denominador?
Significa reescribir una fracción para que el denominador no contenga radicales (raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.). El valor no cambia porque multiplicas el numerador y el denominador por la misma expresión distinta de cero. Por ejemplo, 1/√2 se convierte en √2/2.
¿Cómo se racionaliza un denominador con una raíz cuadrada?
Multiplica el numerador y el denominador por la raíz del denominador. Como √c × √c = c, el denominador se convierte en un número entero. Simplifica primero el radical: 6/√12 = 6/(2√3), y al multiplicar por √3 se obtiene 6√3/6 = √3.
¿Cómo se racionaliza una raíz cúbica en el denominador?
Multiplica por la raíz cúbica que completa un cubo perfecto. Para 5/(2∛3) necesitas dos factores más de 3, así que multiplicas por ∛9: el denominador pasa a ser 2∛27 = 6 y el resultado es 5∛9/6. En general, para ⁿ√c multiplicas por ⁿ√(c^(n−1)), usando los exponentes más pequeños después de simplificar.
¿Qué es un conjugado y por qué funciona?
El conjugado de a + √b es a − √b. Al multiplicarlos se usa la diferencia de cuadrados, (a + √b)(a − √b) = a² − b, que no tiene raíz. Así, para 4/(3 + √5) multiplicas por (3 − √5)/(3 − √5) y obtienes 4(3 − √5)/4 = 3 − √5.
¿Puedo racionalizar un denominador con dos raíces cuadradas como √3 − √2?
Sí. El conjugado es √3 + √2, y (√3 − √2)(√3 + √2) = 3 − 2 = 1, así que 1/(√3 − √2) = √3 + √2. Ingresa c = 1, p = 3, d = −1, q = 2 en el modo binomio.
¿Es incorrecta una respuesta con una raíz en el denominador?
No matemáticamente: 1/√2 y √2/2 son iguales. La forma racionalizada es la forma más simple convencional en las clases de álgebra y facilita comparar y sumar fracciones, por eso muchos profesores y exámenes la exigen.
¿Por qué se reducen mis resultados al final?
Después de racionalizar, los términos del numerador y el nuevo denominador entero suelen tener un factor común. Al dividir todo entre su máximo común divisor se obtiene el resultado totalmente simplificado; por ejemplo, 6√3/6 se reduce a √3.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.