Comprobador de números primos
Escribe cualquier número entero, incluso uno de 60 cifras, para saber si es primo, ver su descomposición en factores primos, su árbol de factores y sus divisores, o lista todos los primos de un intervalo.
Última actualización:
Todos los divisores
Árbol de factores
Tamaño del intervalo de hasta 10,000,000 números, final de hasta 10¹⁴. Usa una criba de Eratóstenes segmentada.
Cómo usar Comprobador de números primos
- Escribe un número o una expresión como 2^31-1, o toca uno de los ejemplos.
- Pulsa Comprobar primo para ver si es primo y por qué, con el procedimiento detallado.
- Consulta la factorización, los divisores y el árbol de factores de los números compuestos, y descarga el árbol en SVG.
- Cambia a Primos en un intervalo, introduce un inicio y un final, y pulsa Buscar primos.
- Copia o descarga la lista completa de primos.
Cómo funciona el test de primalidad
Un número primo es un número entero mayor que 1 cuyos únicos divisores son 1 y él mismo. Para números pequeños, el comprobador usa la división por tentativa: si ningún primo hasta √n divide a n, entonces n es primo. Por ejemplo, √97 ≈ 9.8 y ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 dividen a 97, así que 97 es primo.
Para números grandes usa el test de Miller–Rabin con aritmética exacta de enteros grandes. Escribe n − 1 = 2ˢ × d con d impar; para cada base a, n pasa si ad ≡ 1 (mod n) o a2ʳd ≡ −1 (mod n) para algún r < s. Está demostrado que probar las 13 bases primas de 2 a 41 es determinista para todo n por debajo de 3.3 × 10²⁴. Por encima de ese valor se usan 25 bases y el resultado se indica como primo probable fuerte (la probabilidad de error es astronómicamente pequeña).
Factorización en primos y árboles de factores
Todo número entero mayor que 1 puede escribirse como producto de primos de una única manera (el teorema fundamental de la aritmética). La herramienta divide primero entre los primos pequeños y luego separa las partes compuestas grandes con el algoritmo rho de Pollard (variante de Brent), que encuentra factores de números de 20 cifras en milisegundos. Ejemplo: 360 = 2 × 180 = 2 × 2 × 90 = … = 2³ × 3² × 5.
A partir de la factorización n = p₁a × p₂b × …, el número de divisores es (a + 1)(b + 1)…, así que 360 tiene 4 × 3 × 2 = 24 divisores. La función phi de Euler φ(n) cuenta los números hasta n que no comparten ningún factor con n.
¿Cuántos números primos hay?
| Hasta | Cantidad de primos π(n) | Mayor primo por debajo |
|---|---|---|
| 10 | 4 | 7 |
| 100 | 25 | 97 |
| 1,000 | 168 | 997 |
| 10,000 | 1,229 | 9,973 |
| 100,000 | 9,592 | 99,991 |
| 1,000,000 | 78,498 | 999,983 |
| 10,000,000 | 664,579 | 9,999,991 |
El teorema de los números primos dice que π(n) es aproximadamente n ÷ ln(n), así que los primos se van espaciando poco a poco pero nunca se acaban: Euclides demostró que hay infinitos. El buscador de intervalos usa una criba de Eratóstenes segmentada, que tacha los múltiplos de cada primo hasta √(final).
Tipos especiales de números
- Los primos gemelos se diferencian en 2, como 11 y 13 o 101 y 103.
- Los primos de Mersenne tienen la forma 2ᵖ − 1, como 2⁶¹ − 1 = 2,305,843,009,213,693,951.
- Los números de Carmichael, como 561 = 3 × 11 × 17, superan el test simple de Fermat para cualquier base coprima con ellos; por eso se usa Miller–Rabin.
- Los semiprimos son productos de dos primos: la base del cifrado RSA.
Preguntas frecuentes
¿Cómo sé si un número es primo?
Comprueba si algún primo hasta su raíz cuadrada lo divide exactamente. Si ninguno lo hace, es primo. Por ejemplo, 91 no es primo porque 7 × 13 = 91, pero 89 es primo porque ni 2, ni 3, ni 5, ni 7 lo dividen.
¿El 1 es un número primo?
No. Un primo debe tener exactamente dos divisores distintos: 1 y él mismo. El número 1 solo tiene un divisor, así que no es ni primo ni compuesto. El primo más pequeño es el 2, el único primo par.
¿Qué tamaño de número puedo comprobar?
Hasta 60 cifras. Los números por debajo de 3.3 × 10²⁴ se demuestran primos o compuestos de forma exacta; los mayores usan rondas extra de Miller–Rabin y se indican como primos probables fuertes. Factorizar números muy grandes con dos factores primos grandes puede tardar más de lo que permite el navegador.
¿Qué es un árbol de factores?
Un diagrama que divide un número en dos factores y vuelve a dividir cada factor compuesto, hasta que en las hojas solo quedan primos. Al multiplicar las hojas primas verdes se obtiene de nuevo el número original.
¿Qué es el test de Miller–Rabin?
Un test de primalidad rápido basado en la exponenciación modular. Cada base demuestra que un número es compuesto o lo deja pasar. Con el conjunto de bases adecuado es determinista para todos los números por debajo de un límite conocido.
¿Se envía mi número a algún sitio?
No. Todos los cálculos se hacen en tu navegador con BigInt de JavaScript; no se sube nada.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.