Calculadora de asíntotas
Escribe una función para encontrar todas sus asíntotas. Las funciones racionales se analizan de forma exacta: se factoriza el denominador, los factores comunes se convierten en huecos y los grados deciden la asíntota horizontal u oblicua. Las funciones exponenciales, logarítmicas, de raíz y trigonométricas se tratan con límites laterales, y todo se dibuja en la gráfica.
Última actualización:
Las funciones racionales se resuelven de forma exacta. También se admiten: sqrt, abs, ln, log, e^x, 2^x, sin, cos, tan y pi (se analizan con límites numéricos).
Razonamiento
Comportamiento cerca de las asíntotas verticales
Gráfica
Cómo usar Calculadora de asíntotas
- Introduce f(x), por ejemplo (2x^2 + 3x - 5)/(x^2 - 4).
- Pulsa Hallar asíntotas o elige un ejemplo.
- Lee las cuatro tarjetas de resultados: verticales, horizontales, oblicuas y huecos.
- Sigue el razonamiento y la tabla de comportamiento por la izquierda y por la derecha.
- Revisa la gráfica: las asíntotas son discontinuas y los huecos son círculos vacíos.
Reglas para funciones racionales f(x) = P(x)/Q(x)
| Grados (n = grado P, m = grado Q) | Asíntota del comportamiento en los extremos | Ejemplo |
|---|---|---|
| n < m | Horizontal y = 0 | (3x + 1)/(x² + 1) → y = 0 |
| n = m | Horizontal y = a/b (cociente de los coeficientes principales) | (2x² − 5)/(x² − 4) → y = 2 |
| n = m + 1 | Oblicua y = cociente de P ÷ Q | (x² + 1)/(x − 1) → y = x + 1 |
| n ≥ m + 2 | Ninguna (la gráfica sigue una curva polinómica) | (x³ + 1)/(x − 1) se comporta como x² + x + 1 |
Las asíntotas verticales provienen de los ceros de Q que quedan tras cancelar los factores comunes. Una función racional puede tener cualquier número de asíntotas verticales, pero como mucho una asíntota horizontal u oblicua.
Asíntotas de funciones comunes
| Función | Vertical | Horizontal |
|---|---|---|
| 1/x | x = 0 | y = 0 |
| eˣ, bˣ (b > 1) | ninguna | y = 0 cuando x → −∞ |
| ln x, log x | x = 0 (por la derecha) | ninguna |
| tan x | x = π/2 + kπ | ninguna |
| arctan x | ninguna | y = π/2 e y = −π/2 |
| (2ˣ + 1)/(2ˣ − 1) | x = 0 | y = 1 (x → +∞), y = −1 (x → −∞) |
Consejos
- Simplifica siempre primero. Cancelar un factor común convierte una posible asíntota vertical en un hueco.
- Revisa ambos extremos por separado en las funciones no racionales; pueden tener asíntotas horizontales distintas por la izquierda y por la derecha.
- Usa los signos cerca de una asíntota vertical: si el factor aparece con potencia par, ambos lados van en el mismo sentido; con potencia impar, van en sentidos opuestos.
- Las asíntotas oblicuas salen de la misma división larga que usas con las fracciones impropias, así que el cociente es la recta y el resto te dice dónde la cruza la gráfica.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se hallan las asíntotas verticales?
Primero simplifica la función y luego busca los valores de x donde el denominador es cero pero el numerador no. En una función racional, son los ceros reales del denominador simplificado. Si un factor se cancela con el numerador, su cero es un hueco en lugar de una asíntota vertical.
¿Cómo se halla la asíntota horizontal de una función racional?
Compara los grados n (numerador) y m (denominador). Si n < m, la asíntota es y = 0. Si n = m, es y = (coeficiente principal del numerador)/(coeficiente principal del denominador). Si n > m, no hay asíntota horizontal.
¿Cuándo hay una asíntota oblicua?
Una función racional tiene una asíntota oblicua (inclinada) cuando el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador. Divide los polinomios: el cociente, una expresión lineal mx + b, es la asíntota, porque la fracción del resto tiende a 0 para |x| grandes.
¿Puede una gráfica cruzar una asíntota?
Una gráfica nunca puede cruzar una asíntota vertical, porque la función no está definida ahí. Sí puede cruzar una asíntota horizontal u oblicua, a veces varias veces, ya que estas solo describen lo que ocurre cuando x → ±∞. La calculadora enumera esos puntos de cruce en las funciones racionales.
¿Qué diferencia hay entre un hueco y una asíntota vertical?
Ambos provienen de ceros del denominador. Si el cero se cancela con un factor igual del numerador, la función se acerca a un valor finito y la gráfica tiene un hueco (un único punto faltante). Si no se cancela, la función se dispara a ±∞ y hay una asíntota vertical.
¿Las funciones exponenciales y logarítmicas tienen asíntotas?
Sí. eˣ tiene la asíntota horizontal y = 0 cuando x → −∞, ln(x) tiene la asíntota vertical x = 0 y tan(x) tiene asíntotas verticales en x = π/2 + kπ. Para estas funciones, la calculadora estima numéricamente los límites laterales y reconoce valores exactos cuando puede.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.