Calculadora de dominio y rango
Escribe una función de x para hallar todos los x que acepta (dominio) y todos los y que produce (rango). La calculadora muestra por qué se excluyen puntos, las asíntotas y los huecos, y dibuja la función con ambos conjuntos marcados en los ejes.
Última actualización:
Usa x como variable: + − * / ^, sqrt, cbrt, abs o |x|, ln, log, exp, e^x, sin, cos, tan, asin, acos, atan, pi. La multiplicación implícita como 3x funciona.
Cómo se halla el dominio
Cómo se halla el rango
Características clave
Cómo usar Calculadora de dominio y rango
- Escribe la función f(x), por ejemplo sqrt(x - 2), (2x + 1)/(x - 3) o ln(x^2 - 4), o toca un ejemplo.
- Pulsa Hallar dominio y rango (o Intro).
- Lee las respuestas en notación de intervalos y de conjuntos en la parte superior.
- Revisa el razonamiento: los pasos del dominio enumeran cada restricción y los del rango, los límites, puntos críticos y extremos usados.
- Explora la gráfica: arrastra para desplazarte y usa la rueda o + y − para hacer zoom. La banda verde en el eje x es el dominio y la naranja en el eje y es el rango.
Restricciones de dominio que debes buscar
| Parte de f(x) | Requisito | Ejemplo | Dominio |
|---|---|---|---|
| Polinomio | Ninguna | x³ − 2x + 1 | (−∞, ∞) |
| Fracción P/Q | Q ≠ 0 | 1/(x² − 4) | (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, ∞) |
| Raíz cuadrada √u (cualquier raíz par) | u ≥ 0 | √(9 − x²) | [−3, 3] |
| Raíz en un denominador 1/√u | u > 0 | 1/√(x + 1) | (−1, ∞) |
| Raíz cúbica ∛u (cualquier raíz impar) | Ninguna | ∛(x − 5) | (−∞, ∞) |
| Logaritmo ln u, log u | u > 0 | ln(x² − 4) | (−∞, −2) ∪ (2, ∞) |
| arcsin u, arccos u | −1 ≤ u ≤ 1 | arcsin(x/2) | [−2, 2] |
| tan u, sec u | cos u ≠ 0 | tan(x) | x ≠ π/2 + kπ |
| cot u, csc u | sin u ≠ 0 | cot(x) | x ≠ kπ |
Dominio y rango de funciones base comunes
| Función | Dominio | Rango |
|---|---|---|
| f(x) = x² (y cualquier potencia par) | (−∞, ∞) | [0, ∞) |
| f(x) = x³ (y cualquier potencia impar) | (−∞, ∞) | (−∞, ∞) |
| f(x) = √x | [0, ∞) | [0, ∞) |
| f(x) = 1/x | x ≠ 0 | y ≠ 0 |
| f(x) = |x| | (−∞, ∞) | [0, ∞) |
| f(x) = eˣ, 2ˣ | (−∞, ∞) | (0, ∞) |
| f(x) = ln x | (0, ∞) | (−∞, ∞) |
| f(x) = sin x, cos x | (−∞, ∞) | [−1, 1] |
| f(x) = tan x | x ≠ π/2 + kπ | (−∞, ∞) |
| f(x) = arcsin x | [−1, 1] | [−π/2, π/2] |
| f(x) = arctan x | (−∞, ∞) | (−π/2, π/2) |
Las transformaciones mueven estos conjuntos de forma predecible: a(f(x − h)) + k desplaza el dominio en h y el rango en k, y una a negativa invierte el rango. Para f(x) = −2(x − 1)² + 3 el dominio sigue siendo (−∞, ∞) y el rango pasa a ser (−∞, 3].
Ejemplo resuelto: una función racional
Para f(x) = (2x + 1)/(x − 3), el denominador es cero en x = 3, así que el dominio es (−∞, 3) ∪ (3, ∞). Cerca de x = 3 la función se dispara a −∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha (una asíntota vertical). Cuando x → ±∞, f(x) → 2/1 = 2, el cociente de los coeficientes principales, y resolver (2x + 1)/(x − 3) = 2 da 1 = −6, lo cual es imposible, así que la gráfica nunca toca y = 2. Por tanto, el rango es (−∞, 2) ∪ (2, ∞). Una comprobación rápida de cualquier respuesta racional: el valor excluido del rango es el valor y de la asíntota vertical de la función inversa.
Preguntas frecuentes
¿Qué son el dominio y el rango de una función?
El dominio es el conjunto de todos los valores de entrada x para los que f(x) está definida como número real. El rango es el conjunto de todos los valores de salida que f(x) produce realmente. Para f(x) = √(x − 2), el dominio es [2, ∞) porque el radicando no puede ser negativo, y el rango es [0, ∞) porque una raíz cuadrada nunca es negativa.
¿Cómo se halla el dominio de una función?
Empieza con todos los números reales y quita los valores de x que rompen la fórmula: ceros de cualquier denominador, valores que hacen negativa una raíz par (como una raíz cuadrada), valores que hacen cero o negativo el argumento de un logaritmo y valores fuera de [−1, 1] dentro de arcsin o arccos. Lo que queda es el dominio.
¿Cómo se halla el rango de una función?
Mira los valores que f(x) puede alcanzar en cada tramo continuo del dominio: sus límites en los extremos (incluidos x → ±∞ y cerca de las asíntotas verticales), sus puntos críticos (donde la derivada es cero) y su valor en cualquier extremo cerrado. La unión de esos intervalos es el rango. Las asíntotas horizontales suelen marcar un valor al que la función se acerca pero nunca llega.
¿Cuál es el dominio y el rango de una función racional?
El dominio son todos los números reales excepto los ceros del denominador. Para f(x) = (2x + 1)/(x − 3) es (−∞, 3) ∪ (3, ∞). El rango excluye el valor de la asíntota horizontal cuando la función nunca la cruza: aquí y = 2, así que el rango es (−∞, 2) ∪ (2, ∞).
¿Qué es un hueco en una gráfica?
Un hueco es un único punto que falta donde se cancela un factor. f(x) = (x² − 1)/(x − 1) es igual a x + 1 en todas partes excepto en x = 1, donde no está definida. La gráfica es la recta y = x + 1 con un círculo abierto en (1, 2), así que falta el 1 en el dominio y el 2 en el rango.
¿Por qué tan(x) y funciones similares muestran k en la respuesta?
tan(x) = sin(x)/cos(x) no está definida donde cos(x) = 0, lo que ocurre en x = π/2 + kπ para todo entero k. Como hay infinitos puntos así, el dominio se escribe como todos los números reales excepto x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ.
¿Los resultados son exactos?
Los dominios de expresiones polinómicas, racionales, con raíces y logarítmicas se hallan de forma exacta, incluidos extremos como √2 o (1 + √5)/2. Los rangos se hallan numéricamente a partir de límites y puntos críticos y luego se ajustan a valores exactos como fracciones, raíces cuadradas y múltiplos de π. Un valor que no se puede ajustar se muestra como decimal marcado con ≈.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.