Calculadora de composición de funciones
Introduce dos funciones f(x) y g(x) para obtener las funciones compuestas f(g(x)) y g(f(x)), además de f + g, f − g, f · g y f / g. Cada resultado se simplifica, se evalúa en el x que elijas y se acompaña de su dominio, con la sustitución mostrada paso a paso.
Última actualización:
Usa x como variable: + − * / ^, sqrt, cbrt, abs, ln, log, e^x, sin, cos, tan y pi. Se admite la multiplicación implícita, como 2x.
Todas las combinaciones
Paso a paso
Cómo usar Calculadora de composición de funciones
- Introduce f(x), por ejemplo x^2 + 1.
- Introduce g(x), por ejemplo 2x - 3.
- Opcionalmente, introduce un valor de x para evaluar ahí cada combinación.
- Pulsa Calcular (los resultados también se actualizan mientras escribes).
- Lee f(g(x)) y g(f(x)), la tabla de combinaciones y los pasos.
Operaciones con funciones
| Combinación | Definición | Dominio |
|---|---|---|
| (f + g)(x) | f(x) + g(x) | Dom f ∩ Dom g |
| (f − g)(x) | f(x) − g(x) | Dom f ∩ Dom g |
| (f · g)(x) | f(x) · g(x) | Dom f ∩ Dom g |
| (f / g)(x) | f(x) / g(x) | Dom f ∩ Dom g, con g(x) ≠ 0 |
| (f ∘ g)(x) | f(g(x)) | x ∈ Dom g con g(x) ∈ Dom f |
| (g ∘ f)(x) | g(f(x)) | x ∈ Dom f con f(x) ∈ Dom g |
Ejemplo resuelto: f(x) = √(x + 1), g(x) = x² − 3
- f(g(x)) = √((x² − 3) + 1) = √(x² − 2). Requiere x² − 2 ≥ 0, así que el dominio es (−∞, −√2] ∪ [√2, ∞).
- g(f(x)) = (√(x + 1))² − 3, que se simplifica a x − 2. La forma simplificada parece estar definida en todas partes, pero √(x + 1) debe existir primero, así que el dominio es [−1, ∞).
- En x = 2: g(2) = 1 y f(1) = √2, así que f(g(2)) = √2. Además f(2) = √3 y g(√3) = 0, así que g(f(2)) = 0.
Consejos
- Usa paréntesis al sustituir: reemplaza x por (g(x)), no solo por g(x), para que las potencias y los signos menos se apliquen a toda la expresión.
- Lee el círculo de derecha a izquierda: en f ∘ g, g actúa primero.
- Descomponer una función es lo contrario: escribir h(x) = (3x + 1)⁵ como f(g(x)) con g(x) = 3x + 1 y f(x) = x⁵, que es el paso clave de la regla de la cadena.
- Comprobación de inversas: f y g son inversas exactamente cuando f(g(x)) = x y g(f(x)) = x en sus dominios.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa (f ∘ g)(x)?
(f ∘ g)(x) = f(g(x)): primero se aplica g a x y luego se aplica f al resultado. Para hallar la fórmula, reemplaza cada x de f por la expresión completa g(x). Para f(x) = x² + 1 y g(x) = 2x − 3, f(g(x)) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10.
¿f(g(x)) es lo mismo que g(f(x))?
Normalmente no. La composición no es conmutativa. Con el mismo ejemplo, g(f(x)) = 2(x² + 1) − 3 = 2x² − 1, que es distinto de f(g(x)). Ambas son iguales solo en pares especiales, como una función y su inversa.
¿Cómo se halla el dominio de una función compuesta?
El dominio de f ∘ g contiene los valores de x que están en el dominio de g y cuya salida g(x) está en el dominio de f. Calcúlalo a partir de la forma sin simplificar: para f(x) = √x y g(x) = x − 4 necesitas x − 4 ≥ 0, así que el dominio es [4, ∞).
¿Cómo evalúo f(g(a))?
Trabaja de adentro hacia afuera: calcula primero g(a) y luego sustituye ese número en f. Por ejemplo, con g(2) = 1 y f(x) = x² + 1, f(g(2)) = f(1) = 2.
¿Cuál es el dominio de f/g?
Es la intersección de los dominios de f y g, quitando todos los x donde g(x) = 0, porque la división entre cero no está definida. Los dominios de f + g, f − g y f · g son simplemente la intersección de los dos dominios.
¿Por qué la fórmula simplificada puede tener un dominio mayor?
Simplificar puede cancelar una restricción. Con f(x) = x² y g(x) = √x, f(g(x)) se simplifica a x, pero la composición solo existe para x ≥ 0 porque √x debe estar definida primero. Toma siempre el dominio de la composición original.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.