Calculadora de función inversa
Introduce f(x) y obtén su inversa f⁻¹(x) con todos los pasos algebraicos. Cuando f no es inyectiva, la calculadora restringe el dominio por ti, da el dominio y el rango correspondientes de la inversa y grafica f y f⁻¹ como imágenes reflejadas respecto a la recta y = x.
Última actualización:
Usa x como variable: + − * / ^, sqrt, cbrt, abs o |x|, ln, log, e^x, sin, cos, tan, asin, acos, atan. Funciona la multiplicación implícita, como 2x.
Pasos: intercambia x e y, y luego despeja y
Gráfica: f, f⁻¹ e y = x
Comprobación: f⁻¹(f(x)) = x
Cómo usar Calculadora de función inversa
- Escribe la función f(x), por ejemplo (2x + 1)/(x - 3), x^2 + 4x + 1 o e^(2x) + 1, o toca un ejemplo.
- Pulsa Hallar inversa (o Intro).
- Lee f⁻¹(x) arriba, con el dominio y el rango de f y de su inversa.
- Elige una rama si se te pide: funciones como x² no son inyectivas, así que elige qué mitad del dominio conservar.
- Sigue los pasos y revisa la gráfica: f y f⁻¹ son reflejos una de otra respecto a la recta discontinua y = x.
Inversas de funciones comunes
| f(x) | f⁻¹(x) | Restricción necesaria en f | Dominio de f⁻¹ |
|---|---|---|---|
| mx + b (m ≠ 0) | (x − b)/m | Ninguna | Todos los reales |
| (ax + b)/(cx + d) | (dx − b)/(a − cx) | Ninguna (si ad − bc ≠ 0) | x ≠ a/c |
| x² | √x | x ≥ 0 | x ≥ 0 |
| a(x − h)² + k, a > 0 | h + √((x − k)/a) | x ≥ h | x ≥ k |
| x³ | ∛x | Ninguna | Todos los reales |
| √x | x² | Ninguna | x ≥ 0 |
| eˣ | ln x | Ninguna | x > 0 |
| bˣ | log_b x = ln x / ln b | Ninguna | x > 0 |
| ln x | eˣ | Ninguna | Todos los reales |
| sin x | arcsin x | −π/2 ≤ x ≤ π/2 | [−1, 1] |
| cos x | arccos x | 0 ≤ x ≤ π | [−1, 1] |
| tan x | arctan x | −π/2 < x < π/2 | Todos los reales |
| |x| | x | x ≥ 0 | x ≥ 0 |
Deshaz las operaciones en orden inverso
Despejar y en x = f(y) es lo mismo que deshacer lo que hace f, empezando por el último paso. Lee f(x) = 2·e3x − 5 como: multiplica por 3, eleva e a esa potencia, duplícalo, resta 5. La inversa va hacia atrás: suma 5, divide entre 2, aplica ln, divide entre 3, así que f⁻¹(x) = ln((x + 5)/2)/3. Cada "deshacer" es una línea en la lista de pasos: restar deshace sumar, dividir deshace multiplicar, una raíz deshace una potencia, un logaritmo deshace una exponencial y arcsin deshace sin.
Cómo comprobar tu respuesta
- Composición: f(f⁻¹(x)) = x para todo x del dominio de f⁻¹, y f⁻¹(f(x)) = x para todo x del dominio de f. La tabla de comprobación hace la segunda prueba con números reales.
- Puntos: si f(2) = 5, entonces f⁻¹(5) debe ser 2.
- Gráfica: las dos curvas deben ser imágenes reflejadas respecto a y = x. Si se cruzan, se cruzan sobre esa recta (o en pares simétricos).
- Dominios: el dominio de tu fórmula para f⁻¹ debe coincidir con el rango de f. Si es mayor, la fórmula solo se aplica en una parte de él.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se encuentra la inversa de una función?
Escribe y = f(x), intercambia x e y para obtener x = f(y) y despeja y en esa ecuación. El resultado es f⁻¹(x). Para f(x) = 3x − 7: x = 3y − 7, así que 3y = x + 7 y f⁻¹(x) = (x + 7)/3.
¿Toda función tiene inversa?
Solo las funciones inyectivas tienen función inversa: cada salida debe provenir de exactamente una entrada. Una prueba rápida es la prueba de la recta horizontal: si alguna recta horizontal corta la gráfica dos veces, la función no es inyectiva. f(x) = x² no la cumple, pero restringida a x ≥ 0 sí, y su inversa es √x.
¿Cómo se encuentra la inversa de una función cuadrática?
Primero completa el cuadrado. Para f(x) = x² + 4x + 1 = (x + 2)² − 3, al intercambiar queda x = (y + 2)² − 3, así que y + 2 = ±√(x + 3). Elegir la rama x ≥ −2 conserva el signo +: f⁻¹(x) = √(x + 3) − 2, con dominio x ≥ −3.
¿Cómo se encuentra la inversa de una función racional?
Para f(x) = (ax + b)/(cx + d), intercambia para obtener x = (ay + b)/(cy + d), multiplica por (cy + d), agrupa los términos en y y factoriza: y(cx − a) = b − dx. Así, f⁻¹(x) = (dx − b)/(a − cx). Ejemplo: (2x + 1)/(x − 3) tiene como inversa (3x + 1)/(x − 2).
¿Cómo se relacionan el dominio y el rango de f y f⁻¹?
Se intercambian: el dominio de f⁻¹ es el rango de f, y el rango de f⁻¹ es el dominio de f. Para f(x) = eˣ (dominio todos los reales, rango (0, ∞)), la inversa ln x tiene dominio (0, ∞) y rango todos los reales.
¿Por qué la gráfica de la inversa es un reflejo respecto a y = x?
Si (a, b) está en la gráfica de f, entonces f(a) = b y f⁻¹(b) = a, así que (b, a) está en la gráfica de f⁻¹. Intercambiar las coordenadas es lo mismo que reflejar respecto a la recta y = x.
¿f⁻¹(x) es lo mismo que 1/f(x)?
No. f⁻¹ deshace f (f⁻¹(f(x)) = x), mientras que 1/f(x) es el recíproco de la salida. Para f(x) = 2x la inversa es x/2, pero el recíproco es 1/(2x).
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.