Calculadora de determinantes
Introduce una matriz cuadrada de hasta 8 × 8 y obtén su determinante como fracción exacta. Elige reducción por filas, desarrollo por cofactores (Laplace) a lo largo de cualquier fila o columna, o la regla de Sarrus para 3 × 3, y sigue cada paso.
Última actualización:
Matriz A
Los elementos pueden ser enteros, decimales o fracciones como 2/3. Las celdas vacías cuentan como 0.
det(A) ≠ 0 significa que A es invertible; det(A) = 0 significa que sus filas son linealmente dependientes.
Cómo usar Calculadora de determinantes
- Elige el tamaño de la matriz cuadrada.
- Escribe los elementos o pega filas; Aleatoria e Identidad rellenan la cuadrícula para practicar.
- Elige un método: reducción por filas, desarrollo por cofactores (elige la fila o columna, o Auto) o la regla de Sarrus.
- Pulsa Calcular determinante. El resultado se actualiza automáticamente mientras editas.
- Lee los pasos y copia el valor o el LaTeX.
Fórmulas del determinante según el tamaño
| Tamaño | Fórmula o método | Trabajo necesario |
|---|---|---|
| 2 × 2 | det [[a, b], [c, d]] = ad − bc | 2 productos |
| 3 × 3 | Regla de Sarrus o desarrollo en tres menores de 2 × 2 | 6 productos triples |
| 4 × 4 | Desarrollo en cuatro menores de 3 × 3, o reducción por filas | 24 términos por desarrollo |
| n × n | Reducir a forma triangular; multiplicar la diagonal | Unas n³/3 operaciones (n! términos por desarrollo) |
Ejemplo resuelto (la matriz predeterminada)
Para A = [[3, 1, −2], [2, 0, 5], [−1, 4, 2]], la columna 2 y la fila 2 contienen cada una un cero. Desarrollando por la fila 1: det = 3·(0·2 − 5·4) − 1·(2·2 − 5·(−1)) + (−2)·(2·4 − 0·(−1)) = 3·(−20) − 1·9 − 2·8 = −60 − 9 − 16 = −85. Como −85 ≠ 0, A es invertible.
Propiedades útiles
- det(AB) = det(A)·det(B) y det(Aᵀ) = det(A).
- det(kA) = kⁿ·det(A) para una matriz n × n.
- det(A⁻¹) = 1/det(A).
- Una matriz triangular o diagonal tiene un determinante igual al producto de los elementos de su diagonal.
- Dos filas iguales, una fila de ceros o una fila múltiplo de otra dan det = 0.
- La regla de Cramer resuelve Ax = b como xᵢ = det(Aᵢ)/det(A), donde Aᵢ es A con la columna i sustituida por b.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula un determinante de 3×3?
Desarrolla por una fila: det = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁). De forma equivalente, usa la regla de Sarrus: suma los tres productos de las diagonales descendentes hacia la derecha y resta los tres productos de las diagonales ascendentes hacia la derecha.
¿Qué es el desarrollo por cofactores (Laplace)?
Elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento aᵢⱼ por su cofactor (−1)^(i+j)·Mᵢⱼ, donde el menor Mᵢⱼ es el determinante de la matriz sin la fila i y la columna j, y suma los resultados. Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros ahorra trabajo, que es lo que hace la opción Auto.
¿Por qué la reducción por filas es más rápida en matrices grandes?
El desarrollo por cofactores de una matriz n × n requiere unas n! multiplicaciones (40,320 términos para 8 × 8), mientras que la eliminación gaussiana requiere aproximadamente n³/3. La reducción por filas convierte la matriz en forma triangular, cuyo determinante es simplemente el producto de los elementos de la diagonal, ajustado por los intercambios de filas.
¿Cómo cambian el determinante las operaciones de fila?
Intercambiar dos filas multiplica el determinante por −1. Multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k. Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante. La calculadora solo usa intercambios y la tercera operación, así que solo cuenta los intercambios.
¿Qué significa un determinante igual a cero?
La matriz es singular: no tiene inversa, sus filas y columnas son linealmente dependientes y el sistema lineal Ax = b no tiene solución o tiene infinitas. Geométricamente, la transformación comprime el espacio a una dimensión menor, así que las áreas o volúmenes pasan a ser 0.
¿Qué significa geométricamente el determinante?
Su valor absoluto es el factor por el que la matriz escala el área (2 × 2) o el volumen (3 × 3 y mayores). El signo indica si se conserva la orientación (positivo) o si se invierte, como en una reflexión (negativo).
¿Se puede usar la regla de Sarrus en matrices de 4×4?
No. El atajo de las diagonales solo funciona en matrices de 3 × 3. Para 4 × 4 y mayores usa el desarrollo por cofactores o la reducción por filas; aplicar el patrón de diagonales a una matriz de 4 × 4 da un resultado incorrecto.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.