Calculadora de matriz inversa
Ingresa una matriz cuadrada de hasta 8 × 8 para obtener su inversa en fracciones exactas. Se muestran todas las operaciones de fila de la eliminación de Gauss–Jordan (o del método de la adjunta), se detectan y explican las matrices singulares y el resultado se verifica multiplicando para volver a la identidad.
Última actualización:
Matriz A
Los elementos pueden ser enteros, decimales o fracciones como -3/4 o 1 1/2. Las celdas vacías cuentan como 0. Las flechas del teclado mueven entre celdas.
Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no es 0.
Cómo usar Calculadora de matriz inversa
- Elige el tamaño de la matriz (de 2 × 2 a 8 × 8).
- Ingresa los elementos (enteros, decimales o fracciones) o pega filas con Pegar filas. Aleatoria e Identidad rellenan la cuadrícula rápidamente.
- Elige el método: eliminación de Gauss–Jordan o la fórmula de la adjunta.
- Pulsa Calcular inversa. La inversa también se actualiza mientras escribes.
- Sigue los pasos y copia el resultado en LaTeX, en CSV o para una hoja de cálculo.
Ejemplo resuelto: invertir una matriz de 3 × 3
Toma A = [[2, 1, 1], [1, 3, 2], [1, 0, 0]] (la matriz predeterminada de arriba). Su determinante es −1, así que es invertible. La eliminación de Gauss–Jordan sobre [A | I] da
| Columna 1 | Columna 2 | Columna 3 | |
|---|---|---|---|
| Fila 1 de A⁻¹ | 0 | 0 | 1 |
| Fila 2 de A⁻¹ | −2 | 1 | 3 |
| Fila 3 de A⁻¹ | 3 | −1 | −5 |
Comprueba un elemento: la fila 1 de A por la columna 1 de A⁻¹ es 2·0 + 1·(−2) + 1·3 = 1, el elemento (1,1) de la identidad.
Propiedades de la inversa
| Propiedad | Regla |
|---|---|
| Definición | A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I |
| Inversa de un producto | (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ (el orden se invierte) |
| Inversa de una traspuesta | (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ |
| Inversa de un múltiplo escalar | (kA)⁻¹ = (1/k)·A⁻¹, k ≠ 0 |
| Determinante | det(A⁻¹) = 1 / det(A) |
| Matriz diagonal | Invierte cada elemento de la diagonal |
| Matriz ortogonal | A⁻¹ = Aᵀ |
| Doble inversa | (A⁻¹)⁻¹ = A |
¿Gauss–Jordan o adjunta?
La eliminación de Gauss–Jordan necesita aproximadamente n³ operaciones aritméticas, así que sigue siendo práctica para matrices de 5 × 5 a 8 × 8. La fórmula de la adjunta necesita n² determinantes de tamaño n − 1, lo que crece mucho más rápido; es útil sobre todo para matrices de 2 × 2 y 3 × 3 y para demostrar propiedades como A⁻¹ = adj(A)/det(A). Aquí ambos métodos dan la misma respuesta exacta.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la inversa de una matriz?
Coloca la matriz identidad junto a A para formar [A | I] y aplica operaciones de fila (intercambiar filas, multiplicar una fila por un número distinto de cero, sumar a una fila un múltiplo de otra) hasta que la mitad izquierda se convierta en I. La mitad derecha es entonces A⁻¹. Esto es la eliminación de Gauss–Jordan y funciona con cualquier tamaño.
¿Cuál es la fórmula de la inversa de una matriz de 2×2?
Para A = [[a, b], [c, d]], A⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]]. Intercambia los elementos de la diagonal, cambia el signo de los elementos fuera de la diagonal y divide entre el determinante ad − bc. Si ad − bc = 0, no hay inversa.
¿Cuándo una matriz no tiene inversa?
Una matriz cuadrada no es invertible (es singular) cuando su determinante es 0. De forma equivalente, su rango es menor que su tamaño, sus filas o columnas son linealmente dependientes y la eliminación de Gauss–Jordan se topa con una columna sin pivote utilizable. Las matrices no cuadradas nunca tienen una inversa por ambos lados.
¿Qué es el método de la adjunta?
A⁻¹ = adj(A) / det(A), donde adj(A) es la traspuesta de la matriz de cofactores y cada cofactor es Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) por el determinante de A sin la fila i y la columna j. Es práctico para matrices de 2 × 2 y 3 × 3; para matrices más grandes, la eliminación de Gauss–Jordan es mucho más rápida a mano.
¿Por qué las respuestas son fracciones?
La inversa de una matriz con elementos enteros suele tener fracciones con el determinante como denominador común. La calculadora usa aritmética exacta de fracciones con enteros grandes, así que no hay error de redondeo ni siquiera en matrices de 8 × 8. Elige Decimales para ver aproximaciones decimales.
¿Cómo puedo comprobar una inversa?
Multiplica la matriz por su inversa: A · A⁻¹ y A⁻¹ · A deben ser ambas iguales a la matriz identidad. La calculadora hace esta multiplicación de forma exacta y muestra una marca de verificación cuando se cumple.
¿Para qué se usa la inversa?
Para resolver sistemas lineales Ax = b como x = A⁻¹b, deshacer transformaciones lineales en gráficos y robótica, calcular la regresión por mínimos cuadrados ((XᵀX)⁻¹Xᵀy) y cambiar de base de coordenadas. Para un solo sistema, la eliminación sobre [A | b] suele ser más rápida que calcular la inversa completa.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.