Calculadora de división larga de polinomios
Divide un polinomio entre otro y ve el esquema clásico de la división larga: cada término del cociente, el producto que restas y el nuevo resto. Funciona con cualquier divisor, de x − 3 a x² − x + 2, y mantiene cada coeficiente como una fracción exacta.
Última actualización:
Escribe polinomios en x, p. ej., 3x^4 - 2x + 1 o (x+1)(x-2). Funcionan las fracciones y los decimales (x/2, 0.5x). Una lista separada por comas como 1, 0, -2, 1 se lee como coeficientes desde la potencia más alta.
Esquema de la división larga
Paso a paso
Cómo usar Calculadora de división larga de polinomios
- Introduce el dividendo p(x), por ejemplo 2x^4 + 3x^3 - x + 5.
- Introduce el divisor d(x), por ejemplo x^2 - x + 2.
- Pulsa Dividir (los resultados también se actualizan mientras escribes).
- Lee el esquema: los términos del cociente están sobre la barra y cada resta aparece subrayada.
- Sigue los pasos y la línea de comprobación, y luego copia el resultado.
Los cuatro movimientos de la división larga de polinomios
Cada ronda del algoritmo repite los mismos cuatro movimientos hasta que el resto es demasiado pequeño para volver a dividir:
- Divide el término principal del resto actual entre el término principal del divisor. El resultado es el siguiente término del cociente.
- Multiplica ese término por todo el divisor y escribe el producto debajo de las columnas correspondientes.
- Resta el producto. Los términos principales se anulan por construcción, así que el grado baja al menos en uno.
- Baja el siguiente término del dividendo y repite mientras el grado siga siendo al menos el del divisor.
El proceso siempre termina con p(x) = d(x)·q(x) + r(x), donde gr r < gr d. Este es el algoritmo de la división para polinomios, y garantiza que el cociente y el resto son únicos.
Ejemplo resuelto: (x³ − 2x² − 4) ÷ (x − 3)
| Ronda | Dividir | Multiplica | Resta para obtener |
|---|---|---|---|
| 1 | x³ ÷ x = x² | x²(x − 3) = x³ − 3x² | x² + 0x − 4 |
| 2 | x² ÷ x = x | x(x − 3) = x² − 3x | 3x − 4 |
| 3 | 3x ÷ x = 3 | 3(x − 3) = 3x − 9 | 5 |
El cociente es x² + x + 3 y el resto es 5, así que (x³ − 2x² − 4)/(x − 3) = x² + x + 3 + 5/(x − 3). Por el teorema del resto, el resto también es igual a p(3) = 27 − 18 − 4 = 5.
Consejos para evitar errores comunes
- Distribuye el signo menos a cada término del producto. Restar x² − 3x significa sumar −x² + 3x.
- Escribe las potencias que faltan como 0, tanto en el dividendo como en el divisor, para que las columnas queden alineadas.
- Ordena los términos por potencias descendentes antes de empezar; x + x³ − 1 debe convertirse en x³ + 0x² + x − 1.
- Comprueba el grado: el grado del cociente es el grado del dividendo menos el grado del divisor.
- Aprovecha el resultado: un resto cero significa que has encontrado un factor, y q(x) + r(x)/d(x) es la forma que necesitas para las asíntotas oblicuas y para integrar funciones racionales impropias.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se hace la división larga de polinomios?
Escribe ambos polinomios en potencias descendentes, rellenando las potencias que faltan con 0. Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor para obtener el primer término del cociente, multiplica todo el divisor por él, resta y repite con el nuevo resto. Para cuando el grado del resto sea menor que el del divisor.
¿Por qué necesito los ceros de relleno?
Los ceros como 0x² mantienen los términos semejantes en la misma columna, así que cada resta queda alineada. Sin ellos es fácil restar por error un término en x de un término en x². Puedes ocultarlos con la casilla cuando te sientas cómodo.
¿Cuándo termina la división larga de polinomios?
Termina en cuanto el resto es 0 o tiene un grado menor que el divisor. Con un divisor lineal el resto siempre es una constante; con un divisor cuadrático tiene grado 1 o menos.
¿Cómo escribo la respuesta final?
Usa p(x)/d(x) = q(x) + r(x)/d(x), o de forma equivalente p(x) = d(x)·q(x) + r(x). Si el resto es 0, d(x) es un factor de p(x) y p(x)/d(x) es simplemente q(x).
¿La división larga es lo mismo que la división sintética?
Dan el mismo cociente y resto. La división sintética (regla de Ruffini) es un atajo que solo funciona con divisores lineales como x − c, mientras que la división larga funciona con cualquier divisor, incluidos los cuadráticos como x² + 1.
¿Los coeficientes pueden ser fracciones?
Sí. Dividir entre un divisor cuyo coeficiente principal no es 1, como 2x² − 3, suele producir coeficientes fraccionarios. Esta calculadora los mantiene como fracciones exactas como 3/2 en lugar de decimales redondeados.
¿Cómo puedo comprobar mi respuesta?
Multiplica el cociente por el divisor y suma el resto. El resultado debe ser exactamente el dividendo original. La calculadora hace esta comprobación automáticamente debajo del resultado.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.