Calculadora de polinomios
Introduce dos polinomios P(x) y Q(x) y súmalos, réstalos, multiplícalos, divídelos o evalúalos. Cada resultado incluye el procedimiento, una tabla de propiedades (grado, coeficiente principal, forma factorizada, raíces exactas, comportamiento en los extremos) y una gráfica interactiva.
Última actualización:
Usa x como variable: + − * ^ y paréntesis, p. ej. 3x^4 - x + 2 o (x - 1)(x + 4). Las fracciones (x/3) y los decimales (0.25x) se mantienen exactos.
Procedimiento
Propiedades
Gráfica
Cómo usar Calculadora de polinomios
- Introduce P(x) y Q(x), por ejemplo x^3 - 2x^2 - 5x + 6 y x^2 + x - 2.
- Elige una operación: P + Q, P − Q, P × Q, P ÷ Q o Evaluar.
- Fija a en el valor de x que quieras evaluar (opcional para las demás operaciones).
- Lee el resultado y el procedimiento y después revisa la tabla de propiedades.
- Explora la gráfica: arrastra para desplazarte y usa la rueda o + y − para hacer zoom.
Operaciones con polinomios de un vistazo
| Operación | Cómo funciona | Grado del resultado | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| P + Q | Suma los coeficientes de las potencias iguales | como máximo max(gr P, gr Q) | (x² + 3x) + (2x² − x + 4) = 3x² + 2x + 4 |
| P − Q | Cambia los signos de Q y luego suma | como máximo max(gr P, gr Q) | (x² + 3x) − (x² − x) = 4x |
| P × Q | Distribuye cada término y agrupa términos semejantes | gr P + gr Q | (x + 2)(x − 3) = x² − x − 6 |
| P ÷ Q | División larga: P = Q·q + r | gr P − gr Q (cociente) | (x² − 1) ÷ (x − 1) = x + 1 |
| P(a) | Sustituye a (método de Horner) | un número | P(x) = x² − 3, P(2) = 1 |
Observa que una suma puede bajar de grado cuando los términos principales se cancelan, como en el ejemplo de la resta, pero un producto de polinomios no nulos nunca lo hace.
Cómo leer la tabla de propiedades
- La forma factorizada se escribe sobre los números racionales. Un factor como x² + 1 o x² − 2 se queda como cuadrático porque no tiene raíces racionales.
- Las raíces se muestran con su multiplicidad. Una raíz de multiplicidad par toca el eje x sin cruzarlo; una de multiplicidad impar lo cruza.
- Las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados a ± bi, así que un polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.
- El número de raíces, contadas con su multiplicidad e incluidas las complejas, es igual al grado (el teorema fundamental del álgebra).
- La derivada reduce el grado en uno; sus raíces son los puntos donde la gráfica puede cambiar de dirección.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se suman o restan polinomios?
Agrupa los términos semejantes: suma o resta los coeficientes de la misma potencia de x. Al restar, cambia primero el signo de cada término del segundo polinomio. Por ejemplo, (3x² + 2x − 1) − (x² − 4x + 5) = 2x² + 6x − 6.
¿Cómo se multiplican polinomios?
Multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo (propiedad distributiva) y después agrupa los términos semejantes. El grado del producto es la suma de los dos grados.
¿Qué son el grado y el coeficiente principal de un polinomio?
El grado es la mayor potencia de x con coeficiente distinto de cero, y el coeficiente principal es ese coeficiente. En −4x⁵ + x² − 7 el grado es 5 y el coeficiente principal es −4. Juntos determinan el comportamiento de la gráfica en los extremos.
¿Cómo se encuentran las raíces?
La calculadora factoriza el polinomio sobre los racionales usando el teorema de la raíz racional y después resuelve exactamente los factores cuadráticos con la fórmula cuadrática, así que raíces como (1 + √5)/2 o 2 ± 3i se muestran de forma exacta. Los factores de grado 3 o más sin raíces racionales se resuelven numéricamente.
¿Qué significa evaluar un polinomio?
Evaluar P en x = a significa sustituir x por a y simplificar, lo que da el número P(a). El método de Horner lo hace de forma eficiente: empieza con el coeficiente principal y después multiplica repetidamente por a y suma el siguiente coeficiente.
¿Qué es el comportamiento en los extremos?
El comportamiento en los extremos describe hacia dónde va la gráfica cuando x → ±∞. Con grado par, ambos extremos apuntan en la misma dirección (hacia arriba si el coeficiente principal es positivo); con grado impar, apuntan en direcciones opuestas.
¿Qué ocurre al dividir polinomios?
La división da un cociente y un resto con P = Q·cociente + resto, donde el resto tiene un grado menor que Q. Si el resto es 0, Q es un factor de P. Para ver el desarrollo completo, usa la calculadora de división larga de polinomios.
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Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.