Calculadora de raíces de polinomios
Escribe cualquier polinomio de hasta grado 10, como expresión del tipo 2x^3 − 5x + 1 o como lista de coeficientes, y obtén todas sus raíces: reales y complejas, con fracciones exactas cuando existen, multiplicidades, la forma factorizada y una gráfica.
Última actualización:
Ejemplos: 2x^3 - 3x + 1 · (x-1)^2(x+4) · x^5 = 32 · o coeficientes desde la potencia más alta: 1, 0, -2, 1. Grado máximo 10.
Cómo usar Calculadora de raíces de polinomios
- Introduce el polinomio, por ejemplo x^4 + 3x^3 + x^2 − 7x − 30, o sus coeficientes desde la potencia más alta.
- Elige el número de cifras significativas de los resultados.
- Pulsa Encontrar raíces (los resultados también se actualizan mientras escribes).
- Lee las raíces y la forma factorizada, incluidas las raíces complejas escritas como a ± bi.
- Revisa la gráfica y la tabla para ver multiplicidades y residuos.
El método de Durand–Kerner
Para un polinomio p(x) de grado n con coeficiente principal aₙ, se parte de n estimaciones distintas z₁…zₙ (puntos en una circunferencia del plano complejo) y se actualizan todas a la vez:
zk ← zk − p(zk) ÷ ( aₙ · ∏j≠k (zk − zj) )
Cada ronda usa las estimaciones más recientes de las demás raíces; para raíces simples la convergencia es cuadrática. Como todas las raíces se hallan a la vez, el método también devuelve de forma natural las raíces complejas. Después, el método de Newton z ← z − p(z)/p′(z) refina cada raíz, y las raíces racionales exactas se confirman con el teorema de la raíz racional (toda raíz racional p/q irreducible tiene p divisor del término constante y q divisor del coeficiente principal).
Datos de las raíces según el grado
| Grado | Nombre | Raíces | Raíces reales posibles | ¿Fórmula cerrada? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Lineal | 1 | 1 | Sí: x = −b/a |
| 2 | Cuadrática | 2 | 0 o 2 | Sí (fórmula cuadrática) |
| 3 | Cúbica | 3 | 1 o 3 | Sí (Cardano) |
| 4 | Cuártica | 4 | 0, 2 o 4 | Sí (Ferrari) |
| 5+ | Quíntica y superiores | n | n, n−2, n−4, … | No hay fórmula general (Abel–Ruffini) |
Las fórmulas de Vieta permiten una comprobación rápida: la suma de todas las raíces es igual a −aₙ₋₁/aₙ y su producto es igual a (−1)ⁿ·a₀/aₙ.
Preguntas frecuentes
¿Cuántas raíces tiene un polinomio?
Un polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos si se cuentan con su multiplicidad (teorema fundamental del álgebra). Algunas pueden ser reales y otras complejas; las raíces complejas de un polinomio con coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados a ± bi.
¿Cómo funciona esta calculadora de raíces?
Primero se buscan las raíces racionales, se confirman con aritmética de fracciones exacta y se dividen. Las raíces restantes se calculan con el método de Durand–Kerner (Weierstrass), que refina todas las raíces a la vez usando z ← z − p(z) ÷ (aₙ ∏(z − otras raíces)), y cada una se refina con el método de Newton.
¿Hay una fórmula para las raíces de grado 5 o superior?
No. El teorema de Abel–Ruffini demuestra que no existe una fórmula general con radicales para grado 5 o superior, así que las raíces se hallan numéricamente. Las ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas tienen fórmulas, pero los métodos numéricos suelen ser más prácticos.
¿Qué es la multiplicidad de una raíz?
Es el número de veces que aparece el factor (x − r). Para p(x) = (x − 1)³(x + 2)², la raíz 1 tiene multiplicidad 3 y −2 tiene multiplicidad 2. En una raíz de multiplicidad par, la gráfica toca el eje x sin cruzarlo.
¿Qué precisión tienen las raíces?
Las raíces racionales son exactas. Las demás tienen una precisión de unas 12 a 15 cifras significativas en raíces simples; las raíces irracionales repetidas son menos precisas porque son numéricamente sensibles. La tabla muestra |p(raíz)| para que puedas valorar la precisión.
¿Qué formatos de entrada se aceptan?
Expresiones con ^ o ² para las potencias y multiplicación implícita, como 3x^2 − x/2 + 1, productos como (x − 2)(x² + 1), ecuaciones como x^3 = 8, o una lista de coeficientes desde la potencia más alta, como 1, 0, −2, 1 para x³ − 2x + 1.
¿Qué es la forma factorizada sobre los reales?
Escribe el polinomio como su coeficiente principal por factores lineales (x − r) para las raíces reales y factores cuadráticos x² − 2ax + (a² + b²) para cada par complejo a ± bi, de modo que todos los coeficientes siguen siendo reales.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.