Calculadora RREF (forma escalonada reducida)
Ingresa una matriz o un sistema aumentado [A | b] y obtén su forma escalonada reducida por filas en fracciones exactas. Se muestra cada intercambio, escalado y reemplazo de fila con la matriz resultante, junto con las columnas pivote, el rango, las variables libres y la solución o el espacio nulo.
Última actualización:
Matriz
Los elementos pueden ser enteros, decimales o fracciones como -3/4. Las celdas vacías cuentan como 0.
1 pivote (1 principal)
Operaciones de fila, paso a paso
Cómo usar Calculadora RREF (forma escalonada reducida)
- Define el tamaño con los menús Filas y Columnas, o pulsa Pegar matriz… para pegar filas desde una hoja de cálculo.
- Escribe los elementos: enteros, decimales o fracciones como −3/4. Las celdas vacías cuentan como 0.
- Marca “La última columna es el término independiente” si estás resolviendo un sistema de ecuaciones [A | b].
- Pulsa Calcular RREF para ver la matriz reducida con los pivotes resaltados, el rango y la solución o el espacio nulo.
- Recorre los pasos para seguir cada operación de fila, o pulsa Copiar resultado para pegar la respuesta en otro lugar.
Cómo llega la eliminación de Gauss–Jordan a la RREF
- Empieza por la columna más a la izquierda que tenga un elemento no nulo. Si el elemento de arriba es 0, intercambia con una fila de abajo que tenga un elemento no nulo.
- Escala la fila pivote para que el pivote valga 1.
- Reemplaza cada una de las demás filas por sí misma menos un múltiplo de la fila pivote para que el resto de la columna sea 0. (La eliminación gaussiana para REF solo anula los elementos de abajo).
- Baja una fila y avanza una columna a la derecha, y repite hasta quedarte sin filas o columnas.
Ejemplo resuelto
Resuelve x + 2y − z = −4, 2x + 3y − z = −11, −2x − 3z = 22. La matriz aumentada y su RREF son:
| Matriz aumentada [A | b] | Operaciones de fila | RREF |
|---|---|---|
[ 1 2 −1 | −4 ] |
R2 → R2 − 2R1, R3 → R3 + 2R1, R2 → −R2, R1 → R1 − 2R2, R3 → R3 − 4R2, R3 → −R3, luego anula la columna 3 | [ 1 0 0 | −8 ] |
Cada columna de variable tiene un pivote, así que el sistema tiene la solución única x = −8, y = 1, z = −2. Cárgalo con Ejemplos → “3 ecuaciones, solución única” para ver todos los pasos.
Cómo leer el resultado
| Lo que ves en la RREF | Lo que significa |
|---|---|
| Un pivote en cada columna de A (n pivotes para n incógnitas) | Solución única; para una matriz cuadrada, A es invertible |
| Una columna de A sin pivote | Esa variable es libre; infinitas soluciones (si es compatible) |
| Una fila [0 … 0 | c] con c ≠ 0 | Sistema incompatible, sin solución |
| Número de pivotes | Rango de la matriz (rango + nulidad = número de columnas) |
| Matriz identidad a la izquierda de [A | I] | La mitad derecha es A⁻¹ (ingresa A e I lado a lado y desmarca el término independiente) |
Preguntas frecuentes
¿Qué es la forma escalonada reducida por filas (RREF)?
Una matriz está en RREF cuando todas las filas de ceros están abajo, cada fila no nula empieza con un 1 (el pivote), cada pivote está a la derecha del pivote de arriba y cada pivote es el único elemento no nulo de su columna. Toda matriz tiene exactamente una RREF.
¿Qué diferencia hay entre REF y RREF?
La forma escalonada (REF) solo exige ceros debajo de cada pivote, así que una matriz puede tener muchas REF. La forma escalonada reducida también anula los elementos por encima de cada pivote y escala los pivotes a 1, lo que la hace única y permite leer las soluciones directamente.
¿Qué operaciones de fila están permitidas?
Tres operaciones elementales de fila: intercambiar dos filas (Ri ↔ Rj), multiplicar una fila por un número distinto de cero (Ri → kRi) y sumar a una fila un múltiplo de otra (Ri → Ri + kRj). Ninguna cambia el conjunto de soluciones del sistema ni el rango de la matriz.
¿Cómo sé si un sistema no tiene solución o tiene infinitas?
Mira la RREF de la matriz aumentada. Una fila como [0 0 … 0 | c] con c ≠ 0 significa que no hay solución. Si no, cuando cada columna de variable tiene un pivote hay una única solución; si alguna columna no tiene pivote, esa variable es libre y hay infinitas soluciones.
¿Cómo obtengo el rango a partir de la RREF?
El rango es el número de pivotes, que es igual al número de filas no nulas de la RREF. Las columnas pivote de la matriz original forman una base de su espacio columna, y el número de columnas sin pivote es la nulidad.
¿Por qué la respuesta de mi libro se ve distinta?
La RREF en sí es única, así que debería coincidir exactamente. Los pasos intermedios pueden variar porque hay muchos órdenes válidos de operaciones de fila; esta calculadora usa el orden estándar de Gauss–Jordan (el primer elemento no nulo como pivote, columna por columna).
¿La calculadora redondea algo?
No. Cada operación usa fracciones exactas con enteros arbitrariamente grandes, así que 1/3 sigue siendo 1/3. Marca Mostrar decimales si prefieres aproximaciones decimales en pantalla.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.