Calculadora de valores y vectores propios
Introduce una matriz cuadrada de hasta 8 × 8 para obtener su polinomio característico, sus valores propios en forma exacta (fracciones, raíces cuadradas o números complejos) y una base de vectores propios para cada uno, con las multiplicidades algebraica y geométrica y una comprobación de diagonalizabilidad.
Última actualización:
Matriz A
Los elementos pueden ser enteros, decimales o fracciones como 5/2. Las celdas vacías cuentan como 0.
Valores y vectores propios
Pasos
Cómo usar Calculadora de valores y vectores propios
- Elige el tamaño de la matriz cuadrada (de 2 × 2 a 8 × 8) o carga un ejemplo.
- Escribe los elementos: enteros, decimales o fracciones como 5/2. Las celdas vacías cuentan como 0.
- Pulsa Calcular valores propios para obtener el polinomio característico y su forma factorizada.
- Consulta la tabla: cada valor propio con su valor decimal, sus multiplicidades y una base de vectores propios.
- Abre los pasos para ver A − λI y su forma escalonada reducida para cada valor propio, o pulsa Copiar resultado.
La ecuación de valores propios
Un vector no nulo v es un vector propio de una matriz cuadrada A cuando multiplicarlo por A solo lo escala: A·v = λ·v. El factor de escala λ es el valor propio. Reescribiendo se obtiene (A − λI)v = 0, que solo tiene solución no nula cuando A − λI es singular, así que los valores propios son las raíces del polinomio característico p(λ) = det(λI − A).
- 2 × 2: p(λ) = λ² − (a + d)λ + (ad − bc) para A = [[a, b], [c, d]].
- 3 × 3: p(λ) = λ³ − tr(A)λ² + (M₁₁ + M₂₂ + M₃₃)λ − det(A), donde Mᵢᵢ son los menores principales 2 × 2.
- Cualquier tamaño: suma de los valores propios = traza(A), producto de los valores propios = det(A).
Ejemplo resuelto
Para A = [[2, −1, 0], [−1, 2, −1], [0, −1, 2]] (la matriz predeterminada), traza = 6, los menores principales suman 3 + 4 + 3 = 10 y det = 4, así que p(λ) = λ³ − 6λ² + 10λ − 4 = (λ − 2)(λ² − 4λ + 2). Los valores propios son λ = 2 y λ = 2 ± √2. Resolver (A − 2I)v = 0 da v = (1, 0, −1), y λ = 2 + √2 da v = (1, −√2, 1). Como la matriz es simétrica, los tres vectores propios son ortogonales entre sí.
Datos rápidos para comprobar tu respuesta
| Tipo de matriz | Qué esperar |
|---|---|
| Triangular o diagonal | Los valores propios son los elementos de la diagonal |
| Simétrica real (A = Aᵀ) | Todos los valores propios son reales; vectores propios ortogonales; siempre diagonalizable |
| Rotación de θ (2 × 2) | cos θ ± i sen θ, complejos salvo que θ sea 0° o 180° |
| Singular (det = 0) | 0 es valor propio; sus vectores propios generan el núcleo |
| A invertible | A⁻¹ tiene valores propios 1/λ con los mismos vectores propios |
| Potencias Aᵏ | Valores propios λᵏ con los mismos vectores propios |
| Proyección (A² = A) | Valores propios solo 0 y 1 |
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan los valores propios de una matriz?
Resuelve la ecuación característica det(λI − A) = 0. Para una matriz 2 × 2 es λ² − (traza)λ + det = 0, así que λ = (traza ± √(traza² − 4·det)) / 2. Para matrices mayores, el polinomio característico tiene grado n y sus n raíces, contadas con multiplicidad, son los valores propios.
¿Cómo se calculan los vectores propios una vez que tienes un valor propio?
Sustituye el valor propio en A − λI y resuelve (A − λI)v = 0 mediante reducción por filas. Las variables libres de la matriz reducida dan una base del espacio propio; cualquier combinación no nula de esos vectores es un vector propio.
¿Qué diferencia hay entre multiplicidad algebraica y geométrica?
La multiplicidad algebraica es el número de veces que λ es raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica es el número de vectores propios independientes para λ (la dimensión de su espacio propio). Siempre está entre 1 y la multiplicidad algebraica.
¿Cuándo es diagonalizable una matriz?
Una matriz n × n es diagonalizable exactamente cuando tiene n vectores propios independientes, es decir, cuando la multiplicidad geométrica es igual a la algebraica para cada valor propio. Tener valores propios distintos lo garantiza, y las matrices simétricas reales siempre son diagonalizables con valores propios reales.
¿Por qué obtengo valores propios complejos?
Una matriz real puede tener un polinomio característico sin raíces reales, por ejemplo una matriz de rotación. Los valores propios complejos de una matriz real siempre aparecen en pares conjugados a ± bi, y sus vectores propios son conjugados complejos entre sí.
¿Por qué algunos valores propios se muestran como decimales?
Los valores propios que son fracciones o raíces de factores cuadráticos se muestran de forma exacta. Las raíces de un factor cúbico o de grado superior irreducible no tienen aquí una forma cerrada sencilla, así que se calculan numéricamente con el algoritmo QR y se muestran con seis decimales.
¿La traza es realmente la suma de los valores propios?
Sí. La traza de A es igual a la suma de todos los valores propios y el determinante es igual a su producto, contando la multiplicidad y los valores complejos. La calculadora muestra ambos como comprobación rápida.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.