Calculadora de descomposición en fracciones parciales
Descompón una función racional P(x)/Q(x) en una suma de fracciones simples. La calculadora factoriza el denominador, escribe la forma correcta para factores lineales, repetidos y cuadráticos irreducibles, plantea las ecuaciones de los coeficientes y las resuelve de forma exacta.
Última actualización:
Introduce polinomios en x, desarrollados (x^3 - 3x - 2) o factorizados ((x+1)^2(x-2)). El denominador se factoriza automáticamente sobre los racionales.
Paso a paso
Cómo usar Calculadora de descomposición en fracciones parciales
- Introduce el numerador P(x), por ejemplo x^2 + 3x + 5.
- Introduce el denominador Q(x), desarrollado o factorizado, por ejemplo (x + 1)^2 (x - 2).
- Pulsa Descomponer (la respuesta también se actualiza mientras escribes).
- Lee la descomposición y los valores de los coeficientes A, B, C…
- Sigue los pasos desde la factorización hasta la resolución y copia la respuesta.
Qué forma usar para cada factor
| Factor del denominador | Términos de la descomposición | Incógnitas |
|---|---|---|
| (x − a) | A/(x − a) | 1 |
| (x − a)³ | A/(x − a) + B/(x − a)² + C/(x − a)³ | 3 |
| (2x + 1) | A/(2x + 1) | 1 |
| x² + 4 (irreducible) | (Ax + B)/(x² + 4) | 2 |
| (x² + 4)² | (Ax + B)/(x² + 4) + (Cx + D)/(x² + 4)² | 4 |
| x³ − 2 (sin raíces racionales) | (Ax² + Bx + C)/(x³ − 2) | 3 |
El número total de incógnitas siempre es igual al grado del denominador, por eso el sistema de coeficientes tiene exactamente una solución.
Ejemplo resuelto: (5x − 4)/(x² − x − 2)
- Factoriza: x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
- Forma: (5x − 4)/((x − 2)(x + 1)) = A/(x − 2) + B/(x + 1).
- Elimina los denominadores: 5x − 4 = A(x + 1) + B(x − 2).
- Sustituye las raíces: x = 2 da 6 = 3A, así que A = 2. x = −1 da −9 = −3B, así que B = 3.
- Respuesta: 2/(x − 2) + 3/(x + 1).
Consejos para hacerlo bien
- Comprueba que la fracción sea propia antes de plantear la forma. Si no lo es, divide primero.
- Factoriza por completo. Un factor olvidado da un sistema sin solución.
- Incluye todas las potencias de un factor repetido, no solo la más alta.
- Combina métodos: sustituir las raíces da rápidamente los coeficientes de mayor potencia de los factores lineales; igualar coeficientes da el resto.
- Verifica sumando de nuevo las piezas sobre el denominador común. La línea de comprobación de la calculadora lo hace por ti.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la descomposición en fracciones parciales?
Reescribe una función racional P(x)/Q(x) como una suma de fracciones más simples cuyos denominadores son los factores de Q(x). Por ejemplo, (5x − 4)/(x² − x − 2) = 2/(x − 2) + 3/(x + 1). Las piezas más simples son mucho más fáciles de integrar o de transformar.
¿Qué forma uso para cada factor?
Un factor lineal (ax + b) da A/(ax + b). Un factor lineal repetido (ax + b)ⁿ da un término por cada potencia: A₁/(ax + b) + A₂/(ax + b)² + … + Aₙ/(ax + b)ⁿ. Un cuadrático irreducible (ax² + bx + c) da (Bx + C)/(ax² + bx + c), y un cuadrático repetido da un término así por cada potencia.
¿Qué pasa si el grado del numerador es demasiado alto?
Si grado P ≥ grado Q, la fracción es impropia. Divide primero con división larga de polinomios para obtener un polinomio más una fracción propia R(x)/Q(x), y luego descompón solo la parte propia. La calculadora lo hace automáticamente.
¿Cómo se hallan los coeficientes?
Multiplica ambos lados por el denominador, desarrolla e iguala los coeficientes de cada potencia de x, lo que da un sistema de ecuaciones lineales. Para los factores lineales también puedes sustituir cada raíz (el método de cubrimiento o de Heaviside), con lo que todos los demás términos se anulan.
¿Qué es un factor cuadrático irreducible?
Un cuadrático como x² + 1 o x² + 2x + 5 cuyo discriminante b² − 4ac es negativo, así que no se puede factorizar en factores lineales reales. Su fracción parcial necesita un numerador lineal Bx + C, no solo una constante.
¿Por qué se usa la descomposición en fracciones parciales en cálculo?
Cada fracción simple tiene una antiderivada estándar: A/(x − a) se integra como A·ln|x − a|, A/(x − a)ⁿ como una potencia de (x − a), y (Bx + C)/(x² + bx + c) como una combinación de un logaritmo y un arcotangente. También se usa para transformadas inversas de Laplace y para sumar series telescópicas.
¿Funciona si el denominador tiene raíces irracionales?
Los factores se buscan sobre los números racionales. Un cuadrático con raíces irracionales como x² − 2 se mantiene como factor cuadrático con numerador (Bx + C), lo que sigue siendo una descomposición correcta sobre los racionales.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.