Calculadora de programación lineal
Escribe una función objetivo y restricciones con notación sencilla como 3x + 5y y 2x + y ≤ 18. La calculadora encuentra el óptimo exacto con el método símplex de dos fases, muestra cada tabla con el pivote resaltado y, en problemas de dos variables, dibuja la región factible con sus vértices.
Última actualización:
Escribe términos como 3x, -0.5y, 2/3 x1. Las variables pueden tener cualquier nombre (x, y, x1, sillas). Si desmarcas la no negatividad, escribe tú mismo las líneas x >= 0.
Región factible
Pasos de las tablas símplex
Cómo usar Calculadora de programación lineal
- Elige Maximizar o Minimizar y escribe la función objetivo, por ejemplo
3x + 5y. - Introduce las restricciones, una por línea, como
3x + 2y <= 18ox + y >= 4. - Deja marcada “Todas las variables ≥ 0” para las condiciones de no negatividad habituales, o desmárcala para variables libres.
- Pulsa Resolver para ver el valor óptimo, los valores de las variables y qué restricciones son activas.
- Lee los pasos de las tablas abajo y, con dos variables, revisa la gráfica y la tabla de vértices.
Forma estándar y tabla símplex
En esta herramienta, un programa lineal tiene la forma maximizar (o minimizar) z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ sujeto a las restricciones aᵢ₁x₁ + … + aᵢₙxₙ (≤, ≥ o =) bᵢ, normalmente con todas las xⱼ ≥ 0. Para iniciar el método símplex, cada restricción se convierte en una ecuación:
| Tipo de restricción | Se convierte en | Variable básica inicial |
|---|---|---|
| 3x + 2y ≤ 18 | 3x + 2y + s₁ = 18 | holgura s₁ = 18 |
| x + y ≥ 4 | x + y − e₂ + a₂ = 4 | artificial a₂ = 4 (se elimina en la fase 1) |
| x + y = 10 | x + y + a₃ = 10 | artificial a₃ = 10 (se elimina en la fase 1) |
| lado derecho negativo, p. ej. x − y ≥ −2 | multiplicar por −1: −x + y ≤ 2 | holgura |
La fila objetivo de la tabla contiene z − c·x = 0, así que sus valores empiezan como los opuestos de los coeficientes de la función objetivo. Cada pivoteo divide la fila pivote entre el elemento pivote y anula el resto de la columna pivote, exactamente como la eliminación de Gauss–Jordan.
Ejemplo resuelto
Maximizar z = 3x + 5y sujeto a x ≤ 4, 2y ≤ 12 y 3x + 2y ≤ 18 con x, y ≥ 0 (el problema predeterminado de arriba).
- El valor más negativo de la fila objetivo es −5, así que entra y. Cocientes: la fila 2 da 12 ÷ 2 = 6 y la fila 3 da 18 ÷ 2 = 9, así que sale s₂.
- Tras pivotar, x tiene −3 en la fila objetivo, así que entra x. Cocientes: la fila 1 da 4 y la fila 3 da 6 ÷ 3 = 2, así que sale s₃.
- No quedan valores negativos: el óptimo es x = 2, y = 6, z = 36. Las restricciones 2 y 3 son activas; la restricción 1 tiene una holgura de 2.
La gráfica lo confirma: los vértices son (0, 0), (4, 0), (4, 3), (2, 6) y (0, 6), con valores de z de 0, 12, 27, 36 y 30.
Consejos para plantear problemas
- Define primero las variables: "x = número de sillas, y = número de mesas". Incluso puedes escribir los nombres (
sillas,mesas). - Un recurso, una restricción: horas de trabajo, kilogramos de material, presupuesto. Los coeficientes indican cuánto recurso usa cada unidad.
- "Al menos" significa ≥; "como máximo" o "no más de" significa ≤.
- Comprueba las unidades: cada término de una restricción debe estar en la misma unidad que su lado derecho.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la programación lineal?
La programación lineal busca el mejor valor (mayor beneficio, menor coste) de una función objetivo lineal como z = 3x + 5y cuando las variables deben cumplir restricciones lineales como 3x + 2y ≤ 18. El conjunto de puntos que cumplen todas las restricciones es la región factible, y el óptimo, cuando existe, está en un vértice de esa región.
¿Cómo funciona el método símplex?
Empieza en un vértice de la región factible y pasa repetidamente a un vértice adyacente que mejore la función objetivo. En la tabla, la variable que entra es la que tiene el valor más negativo en la fila objetivo, y la que sale se elige con la prueba del cociente mínimo (lado derecho ÷ valor positivo de la columna). Cuando no quedan valores negativos, el vértice actual es óptimo.
¿Qué son las variables de holgura, de exceso y artificiales?
Una variable de holgura convierte una restricción ≤ en una ecuación (3x + 2y + s = 18) y mide la capacidad no usada. Una variable de exceso se resta en una restricción ≥. Las variables artificiales son ayudas temporales para las filas ≥ y = que dan al símplex un punto de partida; la fase 1 las elimina y, si no puede, el problema no es factible.
¿Cómo se resuelve un problema de minimización?
Minimizar z es lo mismo que maximizar −z, así que la calculadora cambia el signo de la función objetivo, ejecuta los mismos pasos del símplex e indica el mínimo como el negativo del valor final. Las notas de la tabla indican cuándo se usa esta conversión.
¿Qué significa no acotado o no factible?
No factible significa que ningún punto cumple todas las restricciones a la vez, por ejemplo x + y ≤ 4 y x + y ≥ 6. No acotado significa que la función objetivo puede mejorar indefinidamente porque la región factible está abierta en esa dirección; en un modelo real, esto suele indicar que falta una restricción.
¿Cuándo se muestra el método gráfico?
La región factible se dibuja siempre que el problema tenga exactamente dos variables. La primera variable va en el eje horizontal. La tabla de vértices lista todos los vértices de la región con su valor de la función objetivo, que es el método gráfico clásico que se enseña junto al método símplex.
¿Puedo usar más de dos variables?
Sí. El símplex admite hasta 12 variables y 20 restricciones con fracciones exactas. Solo la gráfica está limitada a dos variables; los pasos de las tablas funcionan con cualquier tamaño.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.