Calculadora de progresión geométrica
Introduce el primer término y la razón común para obtener el término n-ésimo, la suma de los primeros n términos y, cuando |r| < 1, la suma de la serie infinita. También puedes hallar r y a₁ a partir de dos términos conocidos o comprobar si un valor pertenece a la progresión.
Última actualización:
También funcionan fracciones como 0.5 o razones negativas como −2
Cómo usar Calculadora de progresión geométrica
- Elige lo que conoces: a₁ y r, dos términos o un valor que buscar.
- Introduce los números, por ejemplo a₁ = 2 y r = 3.
- Introduce n, el número de términos.
- Pulsa Calcular para ver el término n-ésimo, la suma y la suma infinita.
- Revisa los pasos, la tabla y el gráfico, o copia los resultados.
Fórmulas de la progresión geométrica
| Qué | Fórmula |
|---|---|
| Término n-ésimo (explícito) | aₙ = a₁ · r^(n − 1) |
| Forma recursiva | aₙ = r · aₙ₋₁ |
| Razón común | r = aₙ / aₙ₋₁ = (a_q / aₚ)^(1/(q − p)) |
| Suma de n términos (r ≠ 1) | Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) |
| Suma de n términos (r = 1) | Sₙ = n · a₁ |
| Suma infinita (|r| < 1) | S∞ = a₁/(1 − r) |
| Posición de un valor x | n = log(x/a₁)/log(r) + 1 |
Ejemplos
| Progresión | a₁ | r | a₁₀ | S₁₀ | S∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 4, 8, … | 1 | 2 | 512 | 1,023 | diverge |
| 2, 6, 18, 54, … | 2 | 3 | 39,366 | 59,048 | diverge |
| 1/2, 1/4, 1/8, … | 0.5 | 0.5 | 0.000977 | 0.999023 | 1 |
| 9, 3, 1, 1/3, … | 9 | 1/3 | 0.000457 | 13.499771 | 13.5 |
| 8, −4, 2, −1, … | 8 | −0.5 | −0.015625 | 5.328125 | 5.333333 |
| 100, 105, 110.25, … (crecimiento del 5%) | 100 | 1.05 | 155.132822 | 1,257.789254 | diverge |
Por qué funciona la suma infinita
Como Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), la única parte que cambia con n es rⁿ. Cuando |r| < 1, rⁿ se reduce a 0 a medida que n crece, y queda S∞ = a₁/(1 − r). Por eso 0.999… = 0.9/(1 − 0.1) = 1, y por eso una pelota que rebota hasta una fracción fija de su altura recorre una distancia total finita.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una progresión geométrica?
Una lista de números en la que cada término es el anterior multiplicado por un número fijo, la razón común r. Por ejemplo, 2, 6, 18, 54, … tiene a₁ = 2 y r = 3.
¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo?
aₙ = a₁ · r^(n − 1). Para 2, 6, 18, … el 8.º término es 2 × 3⁷ = 4,374.
¿Cómo se calcula la suma de una progresión geométrica?
Para r ≠ 1, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Para 2, 6, 18, … la suma de 8 términos es 2 × (1 − 3⁸)/(1 − 3) = 6,560. Si r = 1, la suma es simplemente n · a₁.
¿Cuándo tiene suma una serie geométrica infinita?
Solo cuando |r| < 1. Entonces los términos se reducen hacia 0 y S∞ = a₁/(1 − r). Por ejemplo, 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 0.5/(1 − 0.5) = 1. Si |r| ≥ 1, la serie diverge.
¿Cómo hallo la razón común a partir de dos términos?
r = (a_q / aₚ)^(1/(q − p)). Con a₂ = 6 y a₅ = 162, r = 27^(1/3) = 3. Cuando q − p es par, −r también funciona, y si a_q / aₚ es negativo con una diferencia par no existe una razón real.
¿Cómo sé qué término es un valor?
Resuelve a₁ · r^(n − 1) = x, lo que da n = log(x/a₁)/log(r) + 1. El valor es un término solo si n es un número entero positivo. Para 2, 6, 18, … el valor 1,458 da n = 7.
¿Qué relación tienen las progresiones geométricas con el interés compuesto?
Un saldo que crece un porcentaje fijo en cada periodo forma una progresión geométrica con r = 1 + tasa. Al 5% anual, r = 1.05, así que tras n años el saldo es P · 1.05ⁿ.
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