Calculadora de regresión cuadrática
Pega tus datos x e y para hallar la parábola de mínimos cuadrados y = ax² + bx + c, o cambia a un polinomio cúbico, cuártico, quíntico o de grado 6. Obtienes la ecuación, R², los residuos, una predicción para cualquier x y un diagrama de dispersión con la curva ajustada.
Última actualización:
Un punto por línea, x e y separados por una coma, un espacio o un tabulador. Pega directamente desde una hoja de cálculo.
Cómo usar Calculadora de regresión cuadrática
- Introduce tus datos como pares x, y (uno por línea) o como dos listas separadas.
- Elige el grado: 2 para una cuadrática (parábola), hasta 6 para curvas de orden superior.
- Opcionalmente, introduce un valor de x para predecir su y.
- Lee la ecuación y el R², y luego revisa el gráfico y los residuos.
- Compara grados en la tabla para ver si un grado mayor mejora realmente el ajuste, y descarga el CSV.
Fórmula de la regresión cuadrática
Para n puntos (xi, yi), la parábola de mínimos cuadrados y = ax² + bx + c minimiza Σ(yi − axi² − bxi − c)². Igualar a cero las derivadas parciales da tres ecuaciones normales:
| Ecuación | término a | término b | término c | = lado derecho |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Σx⁴ · a | Σx³ · b | Σx² · c | Σx²y |
| 2 | Σx³ · a | Σx² · b | Σx · c | Σxy |
| 3 | Σx² · a | Σx · b | n · c | Σy |
Los grados mayores funcionan igual con más potencias de x (en forma matricial, (XᵀX)β = Xᵀy). La calidad del ajuste se mide con R² = 1 − SSres / SStot, donde SSres = Σ(y − ŷ)² y SStot = Σ(y − ȳ)², y el error estándar de la estimación es √(SSres / (n − k − 1)) para un polinomio de grado k.
Cómo elegir el grado del polinomio
| Grado | Nombre | Forma | Puntos mínimos | Uso típico |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Lineal | Línea recta | 2 | Tendencias constantes |
| 2 | Cuadrático | Parábola, un punto de giro | 3 | Trayectorias de proyectiles, beneficio frente a precio, aceleración |
| 3 | Cúbico | Hasta dos puntos de giro, forma de S | 4 | Crecimiento que se acelera y luego se frena |
| 4 | Cuártico | Hasta tres puntos de giro | 5 | Curvas de calibración más complejas |
| 5–6 | Quíntico, séxtico | Hasta 4–5 puntos de giro | 6–7 | Interpolación suave de muchos puntos; riesgo de sobreajuste |
Consejo: si pasar de un grado al siguiente apenas cambia el R² ajustado, quédate con el modelo más sencillo. Mira siempre los residuos: un patrón curvo en los residuos significa que al modelo le falta parte de la forma.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la regresión cuadrática?
La regresión cuadrática halla la parábola y = ax² + bx + c que mejor se ajusta a un conjunto de puntos minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales (residuos) entre los puntos y la curva. Se usa cuando los datos suben y luego bajan, o se curvan hacia arriba, en lugar de seguir una línea recta.
¿Cuántos datos necesito?
Al menos tres puntos con valores de x distintos para una cuadrática y, en general, grado + 1 puntos para un polinomio de ese grado. Con exactamente esa cantidad de puntos la curva pasa por todos ellos (R² = 1), así que usa más puntos para obtener un ajuste significativo.
¿Qué significa R²?
R² (el coeficiente de determinación) es la parte de la variación de y que explica el modelo: R² = 1 − SSres/SStot. Un valor de 1 es un ajuste perfecto y 0 significa que la curva no explica nada más allá de la media de y. El R² ajustado penaliza los coeficientes adicionales, lo que ayuda al comparar grados.
¿Debo usar siempre un grado mayor?
No. Un grado mayor siempre aumenta el R² con los datos que tienes, pero puede sobreajustar y oscilar bruscamente entre tus puntos y más allá de ellos. Elige el grado más bajo que capture la forma; la tabla de comparación de grados y el R² ajustado te ayudan con eso.
¿Cómo se calcula el ajuste cuadrático?
Los coeficientes resuelven las ecuaciones normales: Σx⁴a + Σx³b + Σx²c = Σx²y, Σx³a + Σx²b + Σxc = Σxy y Σx²a + Σxb + nc = Σy. Esta herramienta muestra esas sumas con tus números y resuelve el sistema con una descomposición QR numéricamente estable.
¿Puedo fiarme de las predicciones fuera del rango de mis datos?
Ten cuidado. Predecir más allá del x más pequeño o más grande (extrapolación) supone que la curva mantiene la misma forma, algo que los polinomios a menudo no hacen. La calculadora señala las predicciones que quedan fuera del rango de tus datos.
¿Se suben mis datos a algún sitio?
No. Todos los cálculos se hacen en tu navegador y los datos nunca salen de tu dispositivo.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.