Calculadora de regresión exponencial
Pega tus datos (x, y) para encontrar la curva exponencial que mejor se ajusta. Obtendrás la ecuación en las formas y = a·bˣ y y = a·e^(kx), la tasa de crecimiento o decrecimiento, el tiempo de duplicación o la vida media, r y r², predicciones, residuos y una gráfica de los datos con la curva ajustada.
Última actualización:
Separa x e y con una coma, un espacio o una tabulación. Pega dos columnas directamente desde una hoja de cálculo. Todos los valores de y deben ser positivos.
Opcional
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Cómo usar Calculadora de regresión exponencial
- Introduce tus datos como un par x, y por línea, o pega dos columnas desde una hoja de cálculo.
- Elige la forma de la ecuación: y = a·bˣ o y = a·e^(kx).
- Opcionalmente, introduce una x para predecir o un valor de y para despejar.
- Pulsa Calcular para ajustar la curva.
- Revisa r², la gráfica y los residuos para valorar si un modelo exponencial se adapta a tus datos.
Fórmulas de la regresión exponencial
Con n puntos (xᵢ, yᵢ) y Lᵢ = ln yᵢ, la recta de mínimos cuadrados que pasa por (x, L) da:
- k = Σ(x − x̄)(L − L̄) / Σ(x − x̄)² (la tasa continua)
- ln a = L̄ − k·x̄, así que a = e^(L̄ − k·x̄)
- b = e^k, crecimiento por unidad de x = (b − 1) × 100%
- r = Σ(x − x̄)(L − L̄) / √(Σ(x − x̄)² · Σ(L − L̄)²)
Es el mismo ajuste que usa el comando ExpReg de las calculadoras TI-83/84 y las funciones LOGEST y GROWTH de las hojas de cálculo.
Cómo interpretar el factor de crecimiento
| b | k = ln b | Cambio por unidad de x | Tiempo de duplicación / vida media |
|---|---|---|---|
| 2 | 0.6931 | +100% | se duplica cada 1 unidad |
| 1.10 | 0.0953 | +10% | se duplica cada 7.27 unidades |
| 1.05 | 0.0488 | +5% | se duplica cada 14.21 unidades |
| 1.01 | 0.00995 | +1% | se duplica cada 69.66 unidades |
| 0.95 | −0.0513 | −5% | se reduce a la mitad cada 13.51 unidades |
| 0.5 | −0.6931 | −50% | se reduce a la mitad cada 1 unidad |
Consejos para mejores ajustes
- Desplaza los valores grandes de x. Con años como 2000 a 2020 el ajuste funciona, pero a es el valor en el año 0 y puede ser diminuto. Introduce los años transcurridos desde el inicio (0, 5, 10…) para obtener una a con sentido.
- El ajuste logarítmico da más peso a los valores pequeños de y. Como los errores se miden en escala logarítmica, la curva puede quedar algo por debajo de los valores grandes de y. Es normal con este método.
- Atento a la estabilización. El crecimiento real (poblaciones, ventas, contagios) suele frenarse; si los residuos recientes son todos negativos, un modelo logístico puede ajustarse mejor.
Preguntas frecuentes
¿Cómo funciona la regresión exponencial?
Al tomar el logaritmo natural de y = a·bˣ se obtiene ln y = ln a + x·ln b, que es una recta en x. La calculadora ajusta esa recta a los puntos (x, ln y) por mínimos cuadrados y después deshace la transformación: a = e^(intersección) y b = e^(pendiente). La pendiente es también la tasa continua k de y = a·e^(kx).
¿Qué diferencia hay entre y = a·bˣ y y = a·e^(kx)?
Describen la misma curva. b es el factor de crecimiento por unidad de x y k es la tasa de crecimiento continua, relacionadas por b = e^k y k = ln b. Por ejemplo, b = 1.05 (5% de crecimiento por periodo) corresponde a k ≈ 0.04879.
¿Por qué todos los valores de y deben ser positivos?
El ajuste trabaja con ln y, y el logaritmo de cero o de un número negativo no está definido. Si tus datos contienen ceros o negativos, un modelo exponencial sin desplazamiento no es adecuado; plantéate desplazar los datos o usar otro tipo de regresión.
¿Por qué el R² es distinto del de mi calculadora TI o de Excel?
ExpReg de TI y la línea de tendencia exponencial de Excel indican el r² del ajuste linealizado (x frente a ln y), que esta herramienta muestra como r². El R² en la escala original de y mide lo bien que la curva predice los valores de y sin transformar y suele ser algo distinto.
¿Cómo calculo el tiempo de duplicación o la vida media?
Para crecimiento (k > 0), el tiempo de duplicación es ln 2 / k. Para decrecimiento (k < 0), la vida media es ln 2 / |k|. Ambos están en las mismas unidades que x, por ejemplo años o minutos.
¿Cómo sé si la regresión exponencial es el modelo adecuado?
Representa ln y frente a x: si los puntos quedan cerca de una recta, un modelo exponencial es razonable. Mira también los residuos; un patrón curvo sugiere otro modelo, como un ajuste potencial, logístico o polinómico.
¿Cuántos datos necesito?
Al menos 3, pero más puntos dan un ajuste más fiable. Las predicciones muy fuera del rango de tus valores de x (extrapolación) pueden ser muy imprecisas porque los pequeños errores en la tasa crecen exponencialmente.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.