Calculadora de series de Taylor
Escribe una función, elige el centro a y el orden n, y obtén el polinomio de Taylor con coeficientes exactos, el valor de cada derivada f⁽ᵏ⁾(a), el error en el punto que elijas y una gráfica de f(x) frente a su aproximación. Con centro 0 obtienes la serie de Maclaurin.
Última actualización:
Usa x como variable. Admite + − * / ^, sin cos tan sec csc cot, asin acos atan, sinh cosh tanh, exp, ln, log, sqrt, cbrt, abs, pi y e. También funcionan 2x y 3sin(x).
0 da una serie de Maclaurin. pi/4 funciona.
Potencia más alta, de 0 a 40.
Muestra f(x), Pn(x) y el error de aproximación.
Gráfica: f(x) y su polinomio de Taylor
Cómo usar Calculadora de series de Taylor
- Escribe la función f(x), por ejemplo
e^x,sin(x)/xoln(1+x), o toca un ejemplo. - Elige el centro a: 0 para una serie de Maclaurin, o cualquier punto como 1 o pi/4.
- Define el orden n, la potencia más alta de (x − a) que se conserva.
- Pulsa Calcular serie de Taylor para ver el polinomio, la tabla de coeficientes y la gráfica.
- Ingresa un valor en Comparar en x para ver lo cerca que está Pₙ(x) de f(x), y luego copia el polinomio o descarga los coeficientes.
La fórmula del polinomio de Taylor
Para una función f que se puede derivar n veces en x = a, el polinomio de Taylor de orden n es
Pn(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)/2! · (x − a)² + … + f(n)(a)/n! · (x − a)n
El coeficiente de (x − a)k es ck = f(k)(a)/k!, así que si conoces el coeficiente también conoces la k-ésima derivada: f(k)(a) = k! · ck. Por eso la tabla de arriba muestra ambos. El polinomio coincide con f en valor, pendiente, curvatura y todas las derivadas hasta el orden n en el centro, y por eso es la mejor aproximación polinómica cerca de a.
El resto (error) después de n términos viene dado por la forma de Lagrange del teorema de Taylor: Rn(x) = f(n+1)(ξ)/(n+1)! · (x − a)n+1 para algún ξ entre a y x. Si |f(n+1)| ≤ M en ese intervalo, entonces |Rn(x)| ≤ M·|x − a|n+1/(n+1)!. Para sen x y cos x, M = 1, así que P7 de sen x en x = 1 está garantizado dentro de 1/8! ≈ 0.0000248.
Series de Maclaurin comunes
| f(x) | Serie de Maclaurin | Converge para |
|---|---|---|
| eˣ | 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + … | todo x |
| sin x | x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + … | todo x |
| cos x | 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + … | todo x |
| 1/(1 − x) | 1 + x + x² + x³ + … | |x| < 1 |
| ln(1 + x) | x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + … | −1 < x ≤ 1 |
| arctan x | x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … | |x| ≤ 1 |
| (1 + x)r | 1 + rx + r(r−1)/2! · x² + r(r−1)(r−2)/3! · x³ + … | |x| < 1 |
| sinh x | x + x³/3! + x⁵/5! + … | todo x |
| cosh x | 1 + x²/2! + x⁴/4! + … | todo x |
| tan x | x + x³/3 + 2x⁵/15 + 17x⁷/315 + … | |x| < π/2 |
Consejos para obtener buenas aproximaciones
- Centra la serie cerca de donde la necesitas. Para aproximar ln(1.2), desarrolla ln(x) alrededor de a = 1, no alrededor de un punto lejano.
- Vigila el radio de convergencia. Fuera de él, el polinomio diverge por muchos términos que añadas; la gráfica permite verlo fácilmente con 1/(1 − x).
- Las funciones pares e impares solo tienen potencias impares o solo pares en su serie de Maclaurin (sen x es impar, cos x es par), así que P7 y P8 de sen x son el mismo polinomio.
- La sustitución es un atajo: la serie de e−x² es la serie de eᵗ con t = −x², por eso sus coeficientes son 1, −1, 1/2, −1/6, …
Preguntas frecuentes
¿Qué es una serie de Taylor?
Una serie de Taylor expresa una función suave como una suma infinita de potencias de (x − a): f(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x − a)ᵏ. Conservar los términos hasta la potencia n da el polinomio de Taylor Pₙ(x), que coincide con f y sus primeras n derivadas en x = a.
¿Qué diferencia hay entre una serie de Taylor y una de Maclaurin?
Una serie de Maclaurin es simplemente una serie de Taylor centrada en a = 0, así que usa potencias de x en lugar de potencias de (x − a). Por ejemplo, la serie de Maclaurin de eˣ es 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
¿Cómo calcula la calculadora las derivadas?
Usa aritmética de series de potencias (diferenciación automática): cada operación de tu función, como la multiplicación, la división, exp, ln o sin, se aplica a series truncadas en lugar de a números sueltos. Así obtiene las derivadas en el centro con toda la precisión de la máquina sin diferencias numéricas, y luego muestra los coeficientes como fracciones exactas cuando coinciden con una.
¿Qué tan preciso es el polinomio de Taylor?
Cerca del centro suele ser muy preciso, y el error disminuye al aumentar n si x está dentro del radio de convergencia. Según el teorema de Taylor, el error es R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x − a)ⁿ⁺¹ para algún ξ entre a y x. La calculadora muestra el error real en el x que elijas.
¿Por qué el polinomio empeora lejos del centro?
Una serie de Taylor solo converge dentro de su radio de convergencia, que es la distancia de a al punto más cercano donde la función deja de ser analítica (en el plano complejo). Para 1/(1 − x) o ln(1 + x) alrededor de 0 el radio es 1, así que más allá de |x| = 1 añadir más términos empeora la aproximación en lugar de mejorarla. Para eˣ, sen x y cos x el radio es infinito.
¿Por qué obtengo un error con algunos centros?
Una serie de Taylor solo existe donde la función es infinitamente derivable. ln(x) y √x en 0, 1/x en 0, |x| en 0 y tan(x) en π/2 no tienen serie de Taylor ahí, así que la calculadora explica el problema en lugar de devolver números erróneos. Mueve el centro a un punto donde la función sea suave, por ejemplo ln(x) alrededor de a = 1.
¿Puede desarrollar funciones como sin(x)/x?
Sí. Las singularidades evitables se manejan automáticamente: sin(x)/x alrededor de 0 da 1 − x²/6 + x⁴/120 − …, y (eˣ − 1)/x da 1 + x/2 + x²/6 + …
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.