Calculadora de transformada de Laplace
Introduce una función de t y obtén su transformada de Laplace F(s), término a término, con la regla de la tabla o el teorema usado en cada parte, la región de convergencia y una verificación numérica con la integral que la define. Admite escalones unitarios u(t − c) e impulsos δ(t − c).
Última actualización:
Usa t como variable. Admite potencias de t (incluida √t), e^(at), sin, cos, sinh, cosh, sus productos y potencias, el escalón unitario u(t − c) y el impulso delta(t − c). e^-3t se interpreta como e^(−3t).
Compara F(s) con la integral que la define calculada numéricamente.
Gráfica de f(t)
Cómo usar Calculadora de transformada de Laplace
- Escribe f(t) usando t como variable, por ejemplo
t^2*e^(-3t)o(t-2)*u(t-2), o toca un ejemplo. - Pulsa Calcular transformada de Laplace para obtener F(s).
- Consulta la tabla de reglas para ver qué entrada de la tabla o qué teorema se aplicó a cada término.
- Comprueba la región de convergencia: F(s) solo es válida para Re(s) a la derecha del valor indicado.
- Copia F(s) o cambia el valor de s de la verificación para comparar la fórmula con la integral.
Tabla de transformadas de Laplace habituales
| f(t), t ≥ 0 | F(s) = L{f(t)} | Válida para |
|---|---|---|
| 1 | 1/s | Re(s) > 0 |
| tⁿ (n = 1, 2, 3, …) | n!/sⁿ⁺¹ | Re(s) > 0 |
| tʳ (r > −1) | Γ(r + 1)/sʳ⁺¹ (para √t: √π/(2s3/2)) | Re(s) > 0 |
| eᵃᵗ | 1/(s − a) | Re(s) > a |
| tⁿeᵃᵗ | n!/(s − a)ⁿ⁺¹ | Re(s) > a |
| sin(bt) | b/(s² + b²) | Re(s) > 0 |
| cos(bt) | s/(s² + b²) | Re(s) > 0 |
| sinh(bt) | b/(s² − b²) | Re(s) > |b| |
| cosh(bt) | s/(s² − b²) | Re(s) > |b| |
| eᵃᵗsin(bt) | b/((s − a)² + b²) | Re(s) > a |
| eᵃᵗcos(bt) | (s − a)/((s − a)² + b²) | Re(s) > a |
| t·sin(bt) | 2bs/(s² + b²)² | Re(s) > 0 |
| t·cos(bt) | (s² − b²)/(s² + b²)² | Re(s) > 0 |
| u(t − c), c ≥ 0 | e⁻ᶜˢ/s | Re(s) > 0 |
| δ(t − c), c ≥ 0 | e⁻ᶜˢ | todo s |
Propiedades que usa la calculadora
| Propiedad | Dominio del tiempo | Dominio s |
|---|---|---|
| Linealidad | a·f(t) + b·g(t) | a·F(s) + b·G(s) |
| Primera traslación (en frecuencia) | eᵃᵗf(t) | F(s − a) |
| Segunda traslación (en el tiempo) | f(t − c)·u(t − c) | e⁻ᶜˢF(s) |
| Multiplicación por tⁿ | tⁿf(t) | (−1)ⁿF⁽ⁿ⁾(s) |
| Derivada | f′(t) | sF(s) − f(0) |
| Segunda derivada | f″(t) | s²F(s) − s·f(0) − f′(0) |
| Integral | ∫₀ᵗ f(τ) dτ | F(s)/s |
Consejos
- Las funciones definidas a trozos son sumas de escalones: un pulso de altura 1 de t = 1 a t = 3 es u(t − 1) − u(t − 3), con transformada (e⁻ˢ − e⁻³ˢ)/s.
- Cuando la función trasladada no está escrita como g(t − c), por ejemplo t²·u(t − 1), la calculadora primero la reescribe como g(t + c): (t + 1)² = t² + 2t + 1, lo que da e⁻ˢ(2/s³ + 2/s² + 1/s).
- Las potencias de senos y cosenos se reducen primero: sin²t = 1/2 − cos(2t)/2, así que L{sin²t} = 1/(2s) − s/(2(s² + 4)) = 2/(s(s² + 4)).
- La región de convergencia la determina la exponencial de crecimiento más rápido de f(t); los factores polinómicos y los senos no la cambian.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la transformada de Laplace?
La transformada de Laplace convierte una función del tiempo f(t), definida para t ≥ 0, en una función de una variable compleja s: F(s) = ∫₀^∞ e^(−st) f(t) dt. Convierte las derivadas en multiplicaciones por s, por eso se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales y para analizar circuitos y sistemas de control.
¿Qué es la región de convergencia?
La integral que la define solo converge para valores de s con una parte real suficientemente grande. Si |f(t)| ≤ M·e^(σt), la transformada existe para Re(s) > σ. Por ejemplo, L{e^(3t)} = 1/(s − 3) es válida para Re(s) > 3, y L{sin t} = 1/(s² + 1) para Re(s) > 0.
¿Qué es el primer teorema de traslación?
Multiplicar por una exponencial traslada la transformada: L{e^(at) f(t)} = F(s − a). Así, como L{cos 2t} = s/(s² + 4), L{e^(−t) cos 2t} = (s + 1)/((s + 1)² + 4).
¿Cómo calculo la transformada de Laplace de una función escalón unitario?
Usa el segundo teorema de traslación: L{g(t)·u(t − c)} = e^(−cs)·L{g(t + c)}. Un escalón simple u(t − c) da e^(−cs)/s, y una rampa que empieza en t = 2, (t − 2)u(t − 2), da e^(−2s)/s². Escribe u(t-2), heaviside(t-2) o step(t-2).
¿Cuál es la transformada de Laplace de la delta de Dirac?
L{δ(t − c)} = e^(−cs) para c ≥ 0, y L{δ(t)} = 1. Por la propiedad de selección, g(t)·δ(t − c) se transforma en g(c)·e^(−cs).
¿Por qué t·sin(2t) da un denominador al cuadrado?
Multiplicar por t equivale a derivar respecto a s: L{t f(t)} = −F′(s). Derivar 2/(s² + 4) da 4s/(s² + 4)², así que las raíces repetidas en el denominador de F(s) siempre provienen de factores de t en f(t).
¿Qué funciones no se admiten?
Las funciones sin una entrada cerrada en la tabla, como ln t, tan t o 1/(t + 1), y las funciones como 1/t o e^(t²) cuya transformada no existe, se indican en lugar de adivinarse. No se incluyen transformadas inversas; para resolver EDO usa el solucionador de ecuaciones diferenciales.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.