Resolvedor de ecuaciones diferenciales
Escribe una ecuación diferencial ordinaria de primer o segundo orden y sus condiciones iniciales. El resolvedor identifica el tipo, encuentra la solución general y la particular paso a paso cuando existe una forma cerrada (separable, lineal, de coeficientes constantes, Cauchy–Euler) y siempre calcula una solución numérica RK4 con gráfica y tabla.
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Escribe y′ como y' e y″ como y'' (dy/dx también funciona). Usa x o t como variable independiente. Admite + − * / ^, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt y más.
Gráfica de la solución
Cómo usar Resolvedor de ecuaciones diferenciales
- Escribe la ecuación usando y' e y'' para las derivadas, por ejemplo
y'' + 3y' + 2y = sin(x)oy' = x*y, o pulsa un ejemplo. - Introduce las condiciones iniciales: el punto x₀, y(x₀) y, en ecuaciones de segundo orden, y′(x₀).
- Fija el intervalo de x en el que resolver y representar.
- Pulsa Resolver ecuación para ver el tipo de ecuación, la solución general, la solución de tu problema de valor inicial y los pasos.
- Revisa la gráfica y la tabla: la curva exacta discontinua debería coincidir con la curva RK4. Descarga los valores en CSV si los necesitas.
Métodos usados para cada tipo de ecuación
| Tipo de ecuación | Forma | Método |
|---|---|---|
| Separable | y′ = g(x)·h(y) | ∫ dy/h(y) = ∫ g(x) dx + C, y luego despejar y |
| Lineal de primer orden | y′ + p(x)y = q(x) | Factor integrante μ = e∫p dx, luego (μy)′ = μq |
| Coeficientes constantes, homogénea | ay″ + by′ + cy = 0 | Ecuación característica ar² + br + c = 0 |
| Coeficientes constantes, forzada | ay″ + by′ + cy = f(x) | y = yh + yp, coeficientes indeterminados para yp |
| Cauchy–Euler | x²y″ + bxy′ + cy = 0 | Prueba y = xr: r(r − 1) + br + c = 0 |
| Cualquier otra (no lineal, coeficientes variables) | y″ = F(x, y, y′) | Runge–Kutta numérico de cuarto orden |
Solución homogénea a partir de las raíces características
| Raíces de ar² + br + c = 0 | Discriminante b² − 4ac | Solución general yh | Comportamiento |
|---|---|---|---|
| Dos raíces reales r₁ ≠ r₂ | > 0 | C₁er₁x + C₂er₂x | Sobreamortiguado (sin oscilación) |
| Una raíz repetida r | = 0 | (C₁ + C₂x)erx | Amortiguamiento crítico |
| Par complejo α ± βi | < 0 | eαx(C₁cos βx + C₂sin βx) | Oscila; decae si α < 0 |
Suposiciones para la solución particular
| Segundo miembro f(x) | Prueba yp |
|---|---|
| Polinomio de grado n | Anxⁿ + … + A₁x + A₀ |
| k·eax | A·eax |
| k·cos(bx) o k·sin(bx) | A·cos(bx) + B·sin(bx) |
| eax·(polinomio)·cos(bx) | eax[P(x)cos(bx) + Q(x)sin(bx)] |
Si la función de prueba ya resuelve la ecuación homogénea (el exponente a o a ± bi es una raíz característica de multiplicidad m), multiplica la suposición por xm. El resolvedor aplica esta regla automáticamente, y así es como aparecen términos de resonancia como x·cos(2x).
Consejos
- Compara las curvas. Cuando se encuentra una forma cerrada, la solución exacta discontinua se dibuja sobre la curva RK4 y se indica la mayor diferencia, para que puedas confiar en la fórmula.
- El crecimiento logístico y′ = ky(1 − y/K) es separable; su solución se acerca a la capacidad de carga K para cualquier valor inicial positivo.
- Las ecuaciones rígidas o de crecimiento rápido pueden necesitar un intervalo más corto; si la curva se detiene antes, la solución tiene ahí una asíntota vertical.
- Para resolver con transformadas de Laplace, transforma ambos miembros, usa L{y′} = sY − y(0) y L{y″} = s²Y − s·y(0) − y′(0), despeja Y(s) y aplica la transformada inversa.
Preguntas frecuentes
¿Qué ecuaciones diferenciales puede resolver de forma exacta?
Ecuaciones separables de primer orden y′ = g(x)h(y), ecuaciones lineales de primer orden y′ + p(x)y = q(x) cuando el factor integrante es elemental, ecuaciones lineales de primer o segundo orden con coeficientes constantes y un segundo miembro formado por polinomios, exponenciales, senos y cosenos, y ecuaciones de Cauchy–Euler homogéneas x²y″ + bxy′ + cy = 0. Cualquier otra ecuación de primer o segundo orden se resuelve numéricamente.
¿Cómo se resuelve una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes?
Para ay″ + by′ + cy = 0, sustituye y = e^(rx) para obtener la ecuación característica ar² + br + c = 0. Dos raíces reales dan C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x), una raíz repetida da (C₁ + C₂x)e^(rx) y unas raíces complejas α ± βi dan e^(αx)(C₁cos βx + C₂sin βx). Una ecuación forzada añade una solución particular hallada por coeficientes indeterminados.
¿Qué es la resonancia en el resultado del resolvedor?
Cuando el segundo miembro tiene la misma forma que una solución de la ecuación homogénea, por ejemplo y″ + 4y = sin(2x), la suposición habitual falla y la solución particular recibe un factor x adicional: aquí y_p = −x·cos(2x)/4. La amplitud crece entonces de forma lineal, lo que puedes ver en la gráfica.
¿Cómo funciona el método numérico RK4?
El método clásico de Runge–Kutta de cuarto orden avanza la solución en pequeños pasos h, promediando cuatro estimaciones de la pendiente por paso: y_(n+1) = y_n + h/6·(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). El resolvedor usa 1,000 pasos en el intervalo elegido, y una ecuación de segundo orden se reescribe como un sistema de dos ecuaciones de primer orden para y e y′. El error global disminuye como h⁴.
¿Qué son las condiciones iniciales y por qué las necesito?
Una solución general contiene constantes arbitrarias: una en una ecuación de primer orden y dos en una de segundo orden. Las condiciones iniciales como y(0) = 1 e y′(0) = 0 seleccionan la única curva solución que pasa por ese punto con esa pendiente, lo que se llama un problema de valor inicial.
¿Por qué la curva se detiene antes del final del intervalo?
Algunas soluciones divergen en un x finito. Por ejemplo, y′ = 1 + y² con y(0) = 0 tiene la solución y = tan(x), que tiende a infinito en x = π/2. El resolvedor numérico se detiene ahí y te indica dónde está la singularidad.
¿Puedo usar t en lugar de x?
Sí. Escribe la ecuación con t, por ejemplo y'' + y = cos(t), y la solución se muestra en función de t. Las derivadas también pueden escribirse como dy/dx o d2y/dx2.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.