Calculadora gráfica polar
Escribe una o varias ecuaciones polares r = f(θ) y mira cómo se dibujan en una cuadrícula polar. Mueve los controles del rango de θ, ajusta los parámetros a y k, pasa el cursor para leer puntos y descarga la gráfica como PNG.
Última actualización:
Escribe θ como t, theta o con la tecla θ. Ejemplos: 3sin(2t), 1 - cos(t), t/pi, e^(0.1t). Usa a y k para vincular una fórmula a los controles deslizantes.
Mediciones en el rango de θ
| Curva | Área ½∫r² dθ | Longitud de arco | |r| máx. |
|---|
Cómo usar Calculadora gráfica polar
- Escribe una ecuación polar en la casilla r₁, por ejemplo 3cos(2θ). Usa t, theta o θ para el ángulo.
- Añade más curvas con + Añadir función, o elige una de la lista de ejemplos.
- Define el rango de θ con los controles Inicio y Fin o con un botón de rango rápido. Las rosas con k fraccionario y las espirales necesitan más de 2π.
- Explora: arrastra para desplazarte, usa la rueda o pellizca para hacer zoom, pulsa ⤢ para ajustar y pasa el cursor sobre una curva para leer sus coordenadas.
- Pulsa Animar el trazado para ver cómo se traza la curva y luego Descargar PNG para guardar la gráfica.
Curvas polares comunes y sus ecuaciones
| Curva | Ecuación | Notas sobre la forma | Rango de θ para cerrarla |
|---|---|---|---|
| Círculo que pasa por el origen | r = 2a cos θ o r = 2a sin θ | Círculo de radio a centrado en un eje | 0 a π |
| Círculo centrado en el origen | r = a | Radio a | 0 a 2π |
| Rosa | r = a cos(kθ) | k pétalos si k es impar, 2k pétalos si k es par | π (k impar), 2π (k par) |
| Cardioide | r = a(1 + cos θ) | Forma de corazón con una cúspide en el origen | 0 a 2π |
| Caracol (limaçon) | r = b + a cos θ | Lazo interior si |b| < |a|, hendidura si |a| < |b| < 2|a| | 0 a 2π |
| Lemniscata de Bernoulli | r² = a² cos(2θ) | Forma de ocho; escribe sqrt(a^2 cos(2θ)) y la raíz negativa se dibuja por simetría | 0 a 2π |
| Espiral de Arquímedes | r = aθ | Las vueltas están equiespaciadas, a 2πa de distancia | Abierta; más rango = más vueltas |
| Espiral logarítmica | r = a e^(bθ) | Mismo ángulo con cada radio; crece e^(2πb) por vuelta | Abierta |
| Recta que no pasa por el origen | r = d sec(θ − φ) | Recta a una distancia d del origen | Entre −π/2 y π/2 alrededor de φ |
Conversión entre coordenadas polares y cartesianas
Cada punto de la gráfica tiene dos nombres. De polares a cartesianas usa x = r cos θ y y = r sin θ. A la inversa, r = √(x² + y²) y θ es el ángulo del punto, calculado con la arcotangente de dos argumentos atan2(y, x) para obtener el cuadrante correcto. La lectura al pasar el cursor muestra ambas formas a la vez, una forma rápida de comprobar conversiones de tareas.
Las pruebas de simetría ahorran tiempo al dibujar a mano: si al cambiar θ por −θ obtienes la misma ecuación, la curva es simétrica respecto al eje x (eje polar); cambiar θ por π − θ comprueba el eje y; y cambiar r por −r comprueba la simetría respecto al origen.
Consejos para explorar gráficas polares
- Vincula una fórmula a los controles deslizantes con
ayk:a cos(kθ)te permite recorrer rosas de 3, 4, 5 pétalos o fraccionarias. - La multiplicación implícita funciona:
3sin(2t),2θya(1 + cos θ)se entienden. Usa^para potencias ypio π para π. - Para el área encerrada por un pétalo, ajusta el rango de θ exactamente a un pétalo (para
cos(3θ), de −π/6 a π/6) antes de leer la columna de área. - Animar el trazado es la forma más clara de ver dónde r se vuelve negativo: observa cómo el punto salta al lado opuesto del origen.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una ecuación polar?
Una ecuación polar da la distancia r desde el origen en función del ángulo θ, medido en sentido antihorario desde el eje x positivo. Cada par (θ, r) se convierte en el punto cartesiano x = r cos θ, y = r sin θ, y al unir esos puntos se dibuja la curva.
¿Cómo grafico una curva rosa?
Escribe r = a cos(kθ) o a sin(kθ). Si k es un número entero impar, la rosa tiene k pétalos y se completa cuando θ va de 0 a π; si k es par, tiene 2k pétalos y necesita de 0 a 2π. Para una fracción k = p/q irreducible, amplía el rango (por ejemplo, de 0 a 4π para k = 2.5) para cerrar la curva.
¿Qué pasa cuando r es negativo?
Un r negativo se dibuja en la dirección opuesta, con ángulo θ + π. Por eso r = cos(2θ) sigue dibujando cuatro pétalos y el caracol r = 1 + 2 sin θ tiene un lazo interior. La calculadora sigue esta convención estándar automáticamente.
¿Cómo se calcula el área de una curva polar?
El área barrida cuando θ va de α a β es A = ½∫ r² dθ. La herramienta evalúa esta integral numéricamente en tu rango de θ. Si el rango traza parte de una curva dos veces, esa parte se cuenta dos veces, así que r = cos θ de 0 a 2π da π/2 aunque el círculo encierra π/4; usa de 0 a π para un solo lazo.
¿Cómo se obtiene la longitud de arco?
La longitud de arco en forma polar es L = ∫ √(r² + (dr/dθ)²) dθ. La calculadora toma miles de puntos a lo largo de la curva y suma las longitudes de los pequeños tramos rectos entre ellos, lo que coincide con la integral hasta varios decimales en curvas suaves.
¿Puedo usar grados en lugar de radianes?
Sí. Elige Grados en el menú de unidad de ángulo. El rango de θ se muestra entonces en grados, θ en tu fórmula está en grados y sin, cos y tan usan grados, así que r = 2 + 2cos(θ) se ve igual en ambos modos.
¿Por qué falta parte de mi curva?
La curva se omite donde la fórmula no tiene un valor real, por ejemplo sqrt(cos(2θ)) cuando cos(2θ) es negativo, o en una asíntota como sec θ en θ = π/2. Revisa también el rango de θ: muchas curvas necesitan más de una vuelta para cerrarse.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.