Calculadora de intersección de rectas
Ingresa dos rectas como ecuaciones, como dos puntos cada una o como pendiente y ordenada al origen para hallar el punto exacto donde se cruzan. Se detectan las rectas paralelas e idénticas, y cada respuesta incluye el desarrollo con la regla de Cramer, el ángulo entre las rectas y un gráfico.
Última actualización:
Cualquier forma lineal: y = 2x − 1, 3x + 4y = 12, x = 5, y − 2 = 3(x − 1)
Cómo usar Calculadora de intersección de rectas
- Elige cómo se dan tus rectas: ecuaciones, dos puntos de cada recta, o pendiente y ordenada al origen.
- Ingresa la recta 1 y la recta 2. En las ecuaciones se admiten fracciones como 1/2x y paréntesis como 3(x − 1).
- Lee el punto de intersección arriba, mostrado como fracción cuando es exacto.
- Revisa el desarrollo para ver los determinantes y la comprobación por sustitución.
- Mira el gráfico y la tabla comparativa, y luego copia los resultados o descarga la tabla en CSV.
Fórmulas de intersección
Para dos rectas en forma estándar A₁x + B₁y = C₁ y A₂x + B₂y = C₂, el determinante D = A₁B₂ − A₂B₁ decide qué ocurre. Si D no es cero, las rectas se cruzan en exactamente un punto. Si D es cero, las rectas tienen la misma dirección y son paralelas o la misma recta.
| Rectas dadas como | Punto de intersección | Sin punto único cuando |
|---|---|---|
| A₁x + B₁y = C₁ y A₂x + B₂y = C₂ | x = (C₁B₂ − C₂B₁) ÷ D, y = (A₁C₂ − A₂C₁) ÷ D | D = A₁B₂ − A₂B₁ = 0 |
| y = m₁x + b₁ y y = m₂x + b₂ | x = (b₂ − b₁) ÷ (m₁ − m₂), y = m₁x + b₁ | m₁ = m₂ |
| x = k y y = mx + b | (k, mk + b) | nunca: una recta vertical y una no vertical siempre se cortan |
| Por los puntos P₁, P₂ y P₃, P₄ | Construye cada recta con A = y₂ − y₁, B = x₁ − x₂, C = Ax₁ + By₁ y luego usa la primera fila | los dos segmentos apuntan en la misma dirección |
Ejemplo resuelto
Halla dónde se cortan y = 2x − 1 y x + y = 5. Reescribe la primera recta como 2x − y = 1, así que A₁ = 2, B₁ = −1, C₁ = 1 y A₂ = 1, B₂ = 1, C₂ = 5.
- D = 2 × 1 − 1 × (−1) = 3, que no es cero, así que hay un punto de intersección.
- x = (1 × 1 − 5 × (−1)) ÷ 3 = 6 ÷ 3 = 2.
- y = (2 × 5 − 1 × 1) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3.
- Comprobación: 2(2) − 1 = 3 y 2 + 3 = 5, así que (2, 3) está en ambas rectas.
Consejos
- Las rectas son infinitas, así que dos segmentos pueden no tocarse aunque sus rectas se corten. Si trabajas con segmentos, comprueba que el punto esté entre los extremos.
- Una pendiente en forma de fracción es más fácil de escribir como 3/4x o (3/4)x.
- Los decimales redondeados pueden hacer que rectas casi paralelas se corten muy lejos. Si el punto te parece extraño, revisa las pendientes en la tabla comparativa.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se halla la intersección de dos rectas?
Escribe ambas rectas en la forma Ax + By = C y resuélvelas como un sistema de dos ecuaciones. Con la regla de Cramer, D = A₁B₂ − A₂B₁, x = (C₁B₂ − C₂B₁) ÷ D e y = (A₁C₂ − A₂C₁) ÷ D. Para y = 2x − 1 y x + y = 5, las rectas se cortan en (2, 3).
¿Cómo hallo la intersección cuando ambas rectas están en la forma y = mx + b?
Iguala los lados derechos: m₁x + b₁ = m₂x + b₂, así que x = (b₂ − b₁) ÷ (m₁ − m₂). Sustituye x en cualquiera de las ecuaciones para obtener y. Esto solo funciona cuando las pendientes son distintas.
¿Qué significa que dos rectas no tengan intersección?
En un plano, dos rectas distintas que nunca se cortan son paralelas: tienen la misma pendiente pero distinta ordenada al origen. El determinante D es 0 y el sistema de ecuaciones no tiene solución.
¿Y si ambas ecuaciones describen la misma recta?
Si una ecuación es múltiplo de la otra, como 2x − y = 3 y 4x − 2y = 6, las rectas son coincidentes. Comparten todos los puntos de la recta, así que hay infinitos puntos de intersección.
¿Cómo se calcula el ángulo entre dos rectas?
Para las pendientes m₁ y m₂, tan θ = |(m₂ − m₁) ÷ (1 + m₁m₂)|. Cuando m₁ × m₂ = −1, las rectas son perpendiculares y el ángulo es de 90°. La calculadora también maneja rectas verticales usando la dirección de cada recta.
¿Puedo ingresar rectas verticales?
Sí. Escribe x = 4 como ecuación, o da dos puntos con la misma coordenada x. Una recta vertical tiene pendiente indefinida, y su intersección con cualquier recta no vertical se halla de la misma forma.
¿Es lo mismo que resolver un sistema de ecuaciones lineales?
Sí. El punto de intersección de dos rectas es la solución del sistema 2 × 2 formado por sus ecuaciones. Para tres o más ecuaciones o variables, usa un solucionador de sistemas de ecuaciones.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.