Calculadora de la regla de Cramer
Introduce los coeficientes de un sistema lineal de 2 × 2 o 3 × 3 y obtén x, y (y z) como fracciones exactas. Cada determinante se calcula con tus números: D, luego Dx, Dy y Dz con la columna sustituida resaltada, y después las divisiones y una comprobación por sustitución.
Última actualización:
Escribe enteros, decimales o fracciones como -3, 2.5 o 1/3. Una casilla vacía cuenta como 0. Pulsa Intro para resolver.
Paso 1 · Determinante de coeficientes D
Paso 2 · Sustituye cada columna por las constantes
Paso 3 · Divide
Comprobación por sustitución
Cómo usar Calculadora de la regla de Cramer
- Elige el tamaño del sistema: 2 × 2 para dos ecuaciones en x e y, o 3 × 3 para x, y y z.
- Escribe los coeficientes de cada ecuación en las casillas y la constante después del signo igual. Deja una casilla vacía (o 0) si falta una variable.
- Pulsa Resolver con la regla de Cramer (o Intro). La solución aparece arriba en fracciones exactas.
- Sigue los pasos: el determinante de coeficientes D, cada determinante con una columna sustituida y la división x = Dx / D.
- Copia la solución, marca Mostrar decimales para ver aproximaciones o prueba los ejemplos para ver casos especiales.
Fórmulas de la regla de Cramer
Para un sistema cuadrado escrito en forma matricial A·x = b con det(A) = D ≠ 0, cada incógnita es el cociente de dos determinantes. El determinante del numerador es D con una columna cambiada por las constantes.
| Sistema | Determinante de coeficientes | Solución |
|---|---|---|
| a₁x + b₁y = c₁ a₂x + b₂y = c₂ | D = a₁b₂ − b₁a₂ | x = (c₁b₂ − b₁c₂) / D y = (a₁c₂ − c₁a₂) / D |
| 3 ecuaciones en x, y, z | D = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) | x = Dx / D, y = Dy / D, z = Dz / D |
Ejemplo resuelto (2 × 2)
Resuelve 2x + 3y = 8 y 5x − y = 3.
- D = (2)(−1) − (3)(5) = −2 − 15 = −17.
- Dx sustituye la columna de x por las constantes 8 y 3: (8)(−1) − (3)(3) = −8 − 9 = −17.
- Dy sustituye la columna de y: (2)(3) − (8)(5) = 6 − 40 = −34.
- Divide: x = −17 / −17 = 1 e y = −34 / −17 = 2. Comprobación: 2·1 + 3·2 = 8 ✓ y 5·1 − 2 = 3 ✓.
Consejos y errores comunes
- Ordena las variables igual en todas las ecuaciones y usa 0 para una variable que falte (x + z = 4 tiene coeficiente de y igual a 0).
- Sustituye la columna entera por las constantes, no una fila. Dy mantiene las columnas de x y z exactamente como están.
- Cuidado con el signo central en un desarrollo 3 × 3: el segundo término se resta (patrón + − +).
- Pasa primero todas las constantes al lado derecho: 3x + 2y − 4 = 0 se convierte en 3x + 2y = 4.
- Si D = 0, detente: el sistema no tiene solución única. Comprueba si las ecuaciones son múltiplos entre sí (infinitas soluciones) o se contradicen (ninguna).
Preguntas frecuentes
¿Qué es la regla de Cramer?
La regla de Cramer resuelve un sistema cuadrado de ecuaciones lineales Ax = b mediante determinantes. Cada incógnita es un cociente: x = Dx / D, y = Dy / D y z = Dz / D, donde D = det(A) y Dx es el determinante de A con su columna de x sustituida por las constantes b. Funciona siempre que D no sea cero.
¿Cómo se usa la regla de Cramer en un sistema 3x3?
Calcula el determinante 3 × 3 D de la matriz de coeficientes. Luego construye tres matrices nuevas, sustituyendo la primera, la segunda y la tercera columna por las constantes, y calcula sus determinantes Dx, Dy y Dz. Por último divide: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D. La calculadora muestra cada uno de estos pasos con tus números.
¿Cómo se calcula un determinante 3x3?
Desarrolla por la primera fila: det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) para la matriz con filas (a, b, c), (d, e, f), (g, h, i). Cada paréntesis es un determinante 2 × 2 (un menor), y los signos se alternan + − +.
¿Qué significa que D = 0?
Si el determinante de coeficientes es cero, no se puede usar la regla de Cramer porque habría que dividir entre cero. Entonces el sistema no tiene solución (ecuaciones incompatibles, como rectas paralelas) o tiene infinitas soluciones (ecuaciones dependientes). La calculadora usa una prueba del rango para decirte cuál es el caso.
Si D = 0 y Dx = Dy = 0, ¿hay infinitas soluciones?
En un sistema 2 × 2 con al menos un coeficiente distinto de cero, sí. En los sistemas 3 × 3, que todos los determinantes sean cero es necesario pero no suficiente: las ecuaciones pueden seguir siendo incompatibles. Por eso esta herramienta compara el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada.
¿Puedo introducir fracciones y decimales?
Sí. Escribe valores como 1/3, −5/2, 0.75 o 4. Todas las operaciones se hacen con fracciones exactas, así que respuestas como 14/13 no se redondean; marca Mostrar decimales para ver también las aproximaciones.
¿Cuándo conviene usar la regla de Cramer?
Es práctica para sistemas 2 × 2 y 3 × 3, para hallar una sola incógnita sin calcular las demás y para sistemas con coeficientes simbólicos. En sistemas más grandes la eliminación gaussiana es mucho más rápida, porque el número de términos del determinante crece muy deprisa.
¿Se prueban todas las herramientas de FreeToolCabin para comprobar su calidad y precisión?
Sí. Cada herramienta del sitio pasa pruebas automáticas en navegadores reales para comprobar que el resultado es correcto y que no hay errores. Si encuentras un fallo o tienes una sugerencia, escríbenos a [email protected] y lo revisaremos.